EXTENSION D'UN PARALLÉLÉPIPÈDE

points, vis-à-vis de l'autre ou des deux autres dimensions. Une tige élastique très mince, une plaque peu épaisse peuvent être ployées en arc, de manière que les points situés à leurs extrémités ou sur leurs bords changent notablement de distance, bien que les dimensions de chacune des plus petites parties de ces corps ne changent que dans des proportions extrêmement minimes. On a des exceptions du mêmegenre si l'une des dimensions du corps devient extrêmement grande, comme on aurait dû le supposer dans les considérations que l'on a quelquefois présentées sur la solidité des colonnes, où, faute d'y faire attention, on est arrivé aux conséquences les plus contraires au sens commun.

§ 2. — Extension d'un parallélépipède solide d'égale contexture dans les divers sens perpendiculaires à quatre de ses arêtes parallèles, sous des tractions ou pressions appliquées normale ment sur les bases ou faces perpendiculaires à ces mêmes arêtes, regardées comme longitudinales. — Contractions latérales ou transversales accompagnant les dilatations ou extensions longitudinales.

Pour arriver à déterminer les états résultant de l'application de forces extérieures à un corps élastique, considérons un parallélépipède rectangle extrait de ce corps, et appelons a, b, c, ses côtés. Supposons sa matière homogène et non cristalline, en sorte que sa structure puisse être la même dans toutes les directions, ou au moins, comme ici nous le supposons, dans toutes celles qu'on regarde comme transversales, bien que différente, ainsi qu'il arrive communément, dans le sens de la longueur (*). Appliquons sur deux de ses faces opposées transversales, b c, et dans une direction normale, des tractions d'égale grandeur, uniformément distribuées sur chacune et d'intensité p par unité superficielle. Le parallélépipède éprouvera, dans la direction de ces tractions, un allongement d'une grandeur dépendant

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(*) La première de ces deux structures est celle que Cauchy a appelée isotrope. L'auteur reconnaît bien, un peu plus loin, qu'il ne suffit point, pour qu'elle existe, que le corps ne soit pas cristallin ou cristallisé. Les pièces métalliques forgées ou laminées, les fontes elles-mêmes, en pièces minces, les bois, les schistes, etc., n'ont pas la structure cristalline et sont cependant hétérolropes ou d'inégale structure dans les sens de la longueur, de la largeur et de l'épaisseur, ou au moins dans un de ces trois sens comparé aux deux autres.

de la nature de sa matière et évidemment proportionnelle à la longueur du côté de môme direction, à savoir, le côté a. Le nouvel état d'équilibre ne pourra s'établir avant que les molécules du corps ne se soient assez éloignées les unes des autres pour que les couches contiguës et perpendiculaires à la direction de la traction s'attirent mutuellement avec la môme intensité qu'elles sont tirées de part et d'autre en sens contraire. Il se développe ainsi, à l'intérieur du corps, dans la direction de la traction, une tension (spannung) qui a aussi une intensité p par unité de surface. Le changement qu'éprouve la distance de deux couches moléculaires voisines, et par conséquent aussi rallongement que nous appellerons

qu'éprouve chaque unité de longueur du côté a du parallélépipède, sont évidemment dépendants, d'une manière inconnue quelconque, de la traction p. En d'autres termes, la force p, par unité superficielle des bases bc, nécessaire pour augmenter de S l'unité de leur distance a, est une fonction de t*. Écrivons ainsi

Nous ne savons rien de la relation entre p et ?, si ce n'est que ces deux quantités doivent s'évanouir ensemble. De plus, comme <> est une quantité très petite, si l'on suppose f (£) développée en série suivant les puissances de ?, on peut, dans cette série (où il ne doit y avoir aucun terme indépendant de d puisque p doit s'évanouir avec D), négliger les puissances supérieures de £ devant sa première puissance. On a donc, pour de petits changements de forme, p proportionnel à ? ou

et E seul dépend encore de la nature de la substance du corps (*).

Le nombre E, qui doit être très grand pour que ö = £ puisse avoir de très petites valeurs sans que celles de p soient petites, s'appelle le

(*) L'expression p = E? est juste, mais le raisonnement par lequel l'auteur pense la demontierest défectueux, bien qu'il ait été fait par quelques géomètres éminents : en effet, comme nous le dirons en note au §11 pour les formules sextinônies dont cette expression nVsl qu'une conséquence particulière, une fonction n'est point nécessairement linéaire ou du premier degré par cela seul que sa variable est très petite. D'ailleurs, en général, une loi physique doit se fonder sur des faits, et non sur quelque prétendue nécessité mathématique. (Voy. la note du § 11, après les formules 25.)