DÉFINITION DE

les six formules suivantes :

Dans ces ibrmules, les rayons d'inertie ou de gyration, y., X sont du premier ordre, & est également du premier ordre, comme nous allons le voir en examinant les fonctions Z?e, en même temps que les autres fonctions #x, /?, qui entrent dans l'expression de Q.

Celte expression est [£ '24, (68 a), (70 a)] de la forme (178 a) û=èA+MiH-ftÀ,

dans laquelle les fonctions /> doivent, en chaque point de la section

à cette fibre et par les axes principaux de cette section, pour avoir les moments, autour des deux mêmes axes, des forces élastiques de la matière de la tige mises en jeu par sa flexion. Eli bien, de même, l'auteur appelle .c- une ligne dont le carré multiplié par la superficie a de la section et par le même coellicient ou module d'élasticité longitudinale E de la matière de la tige, supposée d'égale contexlure dans tous les sens transversaux, donne ce par quoi il faut multiplier la torsion b0 (ou l'arc d'un rayon = 1 dont une section a tourné devant une autre, rapporté à l'unité de leur distance), pour avoir le moment des forces élastiques de la matière de la tige, mises en jeu par la torsion qu'elle éprouve.

Si la section de tout prisme qu'on tord restait plane, comme l'ont pensé beaucoup d'auteurs, mais ce qui n'est vrai que lorsque son contour est circulaire, on aurait simplement

%8= = (x2 + /â). Le terme entre crochets affecté d'une intégrale dans l'expression (177) de E—*

est du au gauchissement, nécessairement pris par toute section de tige tordue quand cette section n'est pas un cercle; ainsi qu'on l'a prouvé à la Note finale du § 31.

Quand la section s- est une ellipse (auquel cas le plan de la section se courbe en paraboloïde hyperbolique), il a été trouvé à ce § 51, p. 209, et exprimé surtout au n° 9 de sa Note finale citée, p. 219, qu'on a pour le moment de torsion

M, (ou - C) = G f A Ç , où I0 = * {-,r- -f- 1«) .

En comparant cette expression à celle (178) de b0 qui est la même chose que ^-, on a, pour la section elliptique,

„Gl cr2 1 G oa-

et il résulte de ce qui a été rapporté au même n° 9 de la Note du § 51 que cette formule exacte pour les sections en forme d'ellipse, peut être adoptée approximativement pour des sections de formes différentes et très variées.

414 CHAI'. IV. — TIGES Ml.MI.S.

transversale, satisfaire à ees équations qui sont eelles (Ou) du § 24, p. 154.

dx* ' dtf

Gl„9 "+~ <3)„,a U >

et, en chaque point de la périphérie, aux suivantes qui sont celles (70), même page 154.

HB0 c'B0 .

cJx cy

VB, c)B, . T ■'■'1 /E r. \y-] , ß \

__LC0Sjp + t-1 sinp == |^ - + (^ - 39Jl|-J cos/, + (^ - oj zy smp ,

^cosp + -^smp== |^n | -h (^ — 5nj yj siiipH- ^ - t)J xycosp .

Dans ces équations, posons

x=zx' , y = *y' .

Puisque x et */ sont partout de l'ordre de e, or' et y' sont des nombres finis. L'équation de la section transversale se transforme en une équation en x' et y' qui ne représente rien autre chose qu'une figure semblable à la section transversale, dont les dimensions sont augmentées dans le rapport de e à 1 ; et, par conséquent, une figure de dimensions finies, puisque les dimensions de la section non grandie étaient de l'ordre de s. Dans ce passage d'une équation à l'autre, les quantités cosp, sin p, restent de grandeur finie. Nous obtenons donc, pour la périphérie, les équations :

- , ''",-cosp -4- -an sin p = s {x' shnj -+- y' cosp) tax ei y

;/;:: «.,+g-»*H['ï+ (J-s,)fl.m,+(g-,).,y«>.,j

où toutes les grandeurs, à l'exception de e, sont finies.

Les équations générales auxquelles doivent satisfaire #0, Bv #,, ne sont nullement changées par cette substitution, à la seule différence