CONSÉQUENCES DE LA PETITESSE DE DEUX DIMENSIONS

près que x et y sont remplacées par x' et ij . Le facteur s disparaît de toutes ces équations en posant :

et nous pouvons par conséquent considérer B'0, B\, B'„ comme des grandeurs qui conservent une valeur finie dans toute letendue de la section transversale. Par conséquent, nous voyons que B0 est de l'ordre de s2 et que B{ et ß2 sont de l'ordre de s3; et, d'après ce qu'on vient de dire, les quotients différentiels de B0 sont aussi de l'ordre de s2.

On voit que s- est effectivement du premier ordre, comme nous l'avions dit, puisque tous les termes de .r2 sont du second ordre.

Si maintenant l'on réduit les expressions de u, v, w, au moyen des équations (178;, en négligeant les termes qui, d'après ce qu'on vient de dire, seraient d'ordre supérieur de petitesse, il reste :

v „ nyxV i iv'Jfo2— */-)+*- n,y*

y.- Lk ~"

Eff . ir = — ]Y^ + X'!^— C'^°;

équations qui ne contiennent plus que les moments de rotation, et qui sont devenues complètement indépendantes des composantes A, B, C. Si on veut considérer le cas où la composante C, agissant dans la direction de l'axe de l'élément, aurait une grandeur d'ordre supérieur à celui des autres forces, il faudrait ajouter à ces équations les termes

(179 a) — nCx , — vfy , ï)Gz.

Dans le cas où ce seraient les forces A, B qui deviendraient d'une grandeur prépondérante, les termes à ajouter deviendraient

/ -9* (A *=j£ + B§)AiL

(179.) ^(Af + B^j-B^

ce qui donne lieu à des considérations particulières.

g 49. — Conditions auxquelles doivent satisfaire les divers éléments pour former une tige continue.

Lorsque l'on a ainsi trouvé les équations qui peuvent représenter les états intérieurs d'un élément ou tronçon appartenant au corps considéré, c'est-à-dire les déplacements u, v, w de ses points dans les sens des trois axes qui lui sont particuliers, et les composantes dos tensions suivant les mêmes sens, il j'este à rechercher lesquels de ces états sont compatihles avec la condition que les divers éléments forment un corps continu. L'étude suivante donne la solution de cette question, et, en même temps, détermine la forme que prend la tige après -les déplacements de tous ses points.

Rapportons à un système de coordonnées rectangulaires fixes, appelées x , y , z', les points des divers éléments on tronçons dans lesquels nous avons partagé la tige; et désignons par i-, yj, 'Ç les valeurs de ces coordonnées au point qne nous avons choisi tout à l'heure pour origine des petites coordonnées x, ?/, z des autres points de l'élément considéré en particulier. Ces valeurs Ç, rt, Ç sont différentes pour les divers éléments, et la série des points (x' — Ç, y' = rt, z' = '0 constitue la ligne des centres de gravité des sections transversales de la lige déformée. Nous supposons que cette ligne était primitivement droite; et si nous désignons ensuite par s la distance, à l'une des extrémités de la tige, du point dont les coordonnées x', y\ z' sont maintenant Ç, y], Ç, nous pouvons considérer Ç, vj, Ç comme des fonctions de s.

Les coordonnées x', y', z' d'un point quelconque d'un tronçon se détermineront parla considération suivante. Comme le point dont il s'agit avait les coordonnées x, y, z par rapport aux axes primitifs dont l'origine mobile possède actuellement les coordonnées Ç, yj, Ç, et comme il a maintenant, par l'effet des déplacements et par rapport aux axes primitifs et mobiles, les coordonnées

menons à partir de cette môme origine, et vers ce point particulier, une ligne brisée formée d'une droite de longueur x 4- u prise sur l'axe des .r, puis d'une droite de longueur y -+- v menée parallèlement à l'axe des y, puis d'une droite de longueur s-f-iu menée parallèlement à l'axe des z; cette ligne brisée se terminera évidemment au point (x, »/, z) devenu (x -f- w, y -t- v, z H- w) ; et les coordonnées non-