CONDITIONS DE LA LIAISON DE LEURS TRONÇONS

velles a/, y', z' de ce point, par rapport au système des axes fixes se composeront des coordonnées £, rn Ç de l'origine des x, y, z, augmentées des projections de cette ligne brisée sur chacun des trois axes nouveaux des x' y' z' .

Désignons donc par a1? ßt, yt les cosinus des angles que forme avec l'es axes fixes des x\ y', z', l'axe des.r, variable d'un élément à l'autre; désignons de même par a2, ß2, ys, et enfin par a, ß, y (sans indices) les cosinus des angles que forment respectivement avec les mêmes axes fixes, celui des y et celui des z ; c'est-à-dire faisons

cos {x,x') = «! , cos (xj/) = pv , cos (x,z') = Vl , cos {y,x') = a, , cos {y, y') = ß9 , cos (y,z') = 7, , cos(z,x') = a. , cos{z,y')=Ç> , cos (z,z')=y ;

les coordonnées x', y', z' auront les expressions

!~x' = \ + «x [x H- u) -+- a2 (y -+- v) -+- a f> -+- w) , y,^=v-+-ßi[x-+-u)-t-p%(y+v)-hß{z-hw) , z' = K -h 7i (* + m) H- y2 (y -f- v) 4- 7 .(*+ u>) .

Considérons maintenant la tige dans son ensemble. Non seulement les coordonnées H, rç, Ç, mais encore les cosinus a, at, a2.... y sont variables d'un tronçon à un autre et doivent par suite être considérés comme fonctions de s. Remarquons que nous pouvons passer d'un point de la tige à un autre point voisin, dans la direction de l'axe, de deux manières différentes : premièrement, en considérant le second point comme faisant partie du même tronçon que le premier, et situé par conséquent dans la direction de l'axe des z à une très petite distance, ce qui revient à changer z en z + à; secondement, en considérant le second point comme faisant partie d'un autre tronçon, et occupant, dans celui-ci, une position absolument semblable à celle qu'occupe le premier point dans le premier tronçon ; alors z n'est pas changé, mais s est changé en s -hds. Par la première opération x' y' z' deviennent

x' 4-7r-d« , y'-h-i^dz ,

dz'

Z' = y— dz ,

ÔZ

et par la seconde, ils deviennent

, ex' . , [y' .

z'-h-f—ds .

Mais on a évidemment dz = ds, car ces deux quantités expriment la distance réelle des deux points considérés. La conlinuité de la lige sera manifestement assurée si les deux manières de passer d'un point à un autre, qui viennent d'être indiquées, donnent toujours le même résultat, c'est-à-dire si l'on a :

dtf__dtf <)ji__$]L 2£[^

dz ~ ZJs ' ßz ~ êJs ' dz ~ 8s *

On aura donc exprimé les relations nécessaires pour assurer la continuilé de la tige si on différentie successivement par rapport à z et par rapport à s, les expressions ci-dessus (179 c) de x', y', z' et si on égale les résultats. On doit observer que s entre non seulement dans £, y), Ç, a, aiv... définies au commencement de ce §, mais peut aussi figurer dans les constantes a, b, alV... qui entrent dansles expressions (170) page 411, des déplacements w, v, iv; en sorte qu'on doit différentier les w, v, tupar rapport à s tout comme par rapport à z. Les trois égalités qu'on vient de poser, en y substituant les (179 c), et en remarquant que Ç, rt, l, ainsi que les a, ß, y> a^...., constants dans un même tronçon, ne doivent être différentiés' que par rapport à s et nullement par rapport à z, donnent ainsi les suivantes :

du 0v /, Bw\ du 0v dw

di , . da., . . da* , , , N da.

y'- Su „Su ./, c«i\ „Su .êv Jw

do , x rZ3, , . r/St , rf8

+£+(*+») Jr-^4-*1 î7+<iH-'")^-

Ces équations se simplifient beaucoup au moyen des considéralions suivantes.

Les neuf cosinus a, ß, y«--- ne sont pas indépendants les uns des autres; car, a, ß, y sont les cosinus des angles que forme une certaine direction déterminée avec les axes tdes x', y', %'\ de même an ßx, y4 sont les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par une se-