ÉQUATIONS POUR LEUR CONTINUITÉ

conde direction, et a2,ß2,Y2 par une troisième. On a, entre les cosinus relatifs à une même direction les relations suivantes :

ots4-ß84-^ = l •

De plus, ces trois directions sont celles des axes x, y, z et sont, par conséquent, perpendiculaires les unes des autres; on a donc, en considérant successivement les angles formés par deux de ces directions :

(182) aai,ßß1+7yi=o,

Enfin, il existe aussi des relations entre les £, yj, £ et ces cosinus. En effet, la direction (a, ß, y) coïncide avec l'élément de la ligne des centres de gravité, élément dont les projections sur les axes des x\ y', z' sont représentées par d'q, dr„ d'Ç, et dont la longueur primitive était ds. Si cet élément s'est allongé de <5ds, D étant une quantité très petite du premier ordre, les projections de l'élément sur les trois axes peuvent s'exprimer par

«rf«(l+5) , ßds(l+a) , yd${l-hZ) ;

et l'on a par conséquent les rapports :

(183) §=«tt + î), £ = >(*+?>. i = 7(l + «).

En différentiant mainlenant par rapport à s les équations (181) qui expriment des relations entre les cosinus, on a les suivantes :

</«, dßi , '/Vi((

ris ' as ' as

dx.y „ à"32 0%

as r as ' as

En différentiant de même les équations (182) qui expriment d'autres relations entre les cosinus, et en introduisant, pour simplifier, trois

nouvelles notations, rv r,, r dont on verra plus loin la signification géométrique, on a

du. n f/8 <ly ( du« , di9 (h«\

, .-► 1 du. , . d$. dy. ( du „ r/fi . dy \

^ \-7i7+^^l:=-^ds^s+^/s)=r--

du, d% d7î / du rfß d7A

Si maintenant l'on multiplie les équations (180) posées tout à l'heure entre les quotients différentiels de u, v, iv, d'abord par at, ßt, yp puis par a2, ßa, y2, puis par a, ß, y, et si l'on additionne chaque fois, on obtient, en tenant compte des équations (181), (182), (185), (184), (185), les formules plus simples suivantes, en retranchant 1 des deux membres de la dernière :

, ou eu ..... .

(*) M. Boussiuesq, dans un remarquable mémoire déjà cité à la Note finale du ^ l28 : Etude nouvelle sur l'équilibre et te mouvement des solides élastiques dont certaines dimensions sont très petites par rapport à d'autres, présenté à l'Académie le 5 avril 1871 (Comptes rendus, t. LXXII, p. 407 », et inséré au journal de M. Liouville, donne, à propos de l'examen qu'il fait de la tbéorie de M. Kirckhoff sur les tiges, une démonstration plus simple et plus directe des formules (186), qui dispense de la considération des axes fixes ou extérieurs x', y', z' et qui met plus en évidence la signification de ces formules.

Elle se fonde sur ce que x, y, z

[a) et x-\-u, y -\- v, :-"-«>

étant, avant et après les déplacements, les coordonnées d'une molécule dans le système d'axes des x, y, z dont l'origine 0 est à la distance s de l'extrémité de la tige, les coordonnées de la même molécule dans un système d'axes ayant leur origine 0j à une distance 00t =ds de l'autre, auront été, avant les déplacements :

x, y, i — ds,

H seront, après les déplacements, en appelant d la proportion de la dilation éprouvée:

'" , , '()u i d" i , ?v i i ii , ->> i ®w j i <"' ; .

(b) x + u — -, ds-\- — ds, y-hv — F-r/s+— ds , :. — ds (1 -(- ?) -f w— -r— as + — ds ,

r S < S C>Z (S < i fi

puis, à égaler ces secondes coordonnées à ce qu'on trouve en transformant les premières (x -f- u , y -f- v , s -(- "') d'un système d'axes dans l'autre.

Pour cette translormation, il faut connaître les cosinus des angles des directions .r, y, z, avec celles, que nous appellerons xl, yi, zlt des coordonnées du second système. Comme

dz ~

ry —

rtz —

rx ,

fl"

cz~

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