ÉQUATION? TUS SIMPLES DE LA CONTINUITÉ DES TIGES

Si maintenant les formules (1 70) du § 48, p. 415 doivent représenter des déplacements réellement possibles d'éléments appartenant à un corps continu, elles doivent satisfaire à ces équations, à cela prés de qiumtiiés d'ordre supérieur de petitesse.

>"ous pouvons encore remarquer que a, v et w sont toujours liés petits par rapport à x, y, z, et que la dilîércntiation de ces quantités par rapport à z aura pour résultat d'abaisser d'un degré l'ordre de leur petitesse; ce qui n'aura pas lieu, en général, dans la différentiation par rapport à s; de sorte que les quotients différentiels, par rapport à s peuvent, en général, être négligés vis-à-vis des quotients différentiels par rapport à z. Les formules (186) se réduisent, ainsi, aux suivantes :

elles en diffèrent infiniment peu, on a, à cela près de quantités très petites du second ordre

cos z j , x) = l , cos (y„ y) = l , cos (zt , z) = l ,

et les six autres cosinus des angles de x, , yi , :, avec x, y, z, sont infiniment petits et proportionnels à la distance 00j = rfs des deux origines. Faisons donc

cos (y, z,} =r, ds, cos (z, x,) = rtds , cos (x, j/j) = rds.

En exprimant que 0{ ylt 0izl sont perpendiculaires l'un à l'autre, on que l'unité de longueur portée sur 0, j/j à partir de 0t donne zéro lorsqu'on la projette sur O^, on a :

cos (y, x) cos [x :t) + cos (#, y) cos (y zt) + cos (y, z) cos (z «J = 0

qui se réduit, en effaçant les quantités du second ordre, à

cos(:j y) -f- cos (î/i z) = 0 ;

et comme on obtient deux relations semblables en exprimant la perpendicularité de zt sur x,, de xt sur yi, l'on a, pour les trois derniers cosinus

cos [y i, z)=—i\ds , cos (zit:r) — — r,ds , cos (x, ,?/)=— ;• ds. Ayant ainsi les neuf cosinus des angles des axes partant de 04 sur les axes partant de 0, on peut, comme à l'ordinaire, exprimer les coordonnées nouvelles (b) en fonction des anciennes («), en projetant sur les directions des nouvelles la distance OjM remplacée par la ligne brisée formée par l'ensemble de ses projections x + u, y + v. z — ds + w sur les directions des anciennes coordonnées. La troisième coordonnée fournit ainsi l'équation

z-ds(l +Z) + w — ^ds + e^ds = — (x + ii)rids + (y-±-v)rlds + z-ds + w;

ou, en réduisant, la troisième des équations (185) dont les deux premières s'obtiennent de

même en supprimant les termes affectés de f/*â.

(') Le raisonnement que vient de faire l'auteur est très valable quant à la possibilité de

supprimer u, v, iv devant x, y, z dans les parenthèses des équations (186). Une l'est pas, ou

, ou Sv cw „ ., ,. , .

il manque de clarté quant a la suppression de ^- , „-, — • Et Ion peut en dire autant

du raisonnement fait par M. Kirchhoff lui-même pour motiver cette suppression, car il

EffS2 *

Si l'on compare leurs coefficients avec ceux des valeurs de u, v, w irées des équations (179), § 48 page 415, on obtient :

Aucun terme de la valeur de c—-, ainsi déduite delà troisième (179),

oZ '

ne correspond au terme t) qui, en général, est d'ordre supérieur de petitesse. Mais si l'on suppose que la composante longitudinale C des forces soit très grande par rapport aux moments A', B', C ; et si, en conséquence, l'on ajoute les termes (179 a) aux expressions (179), comme nous avons dit qu'il fallait alors le faire, on a :

dit (§2 du Mémoire cité) : q.u,v,iv éfant infiniment petits vis-à-vis de ^r-, — , -~^, supposé

< z < % oz

du dv dw . . B . , . . . ,

que s- , jr-i -zr- ne soient pas infiniment grands vis-a-vis de u, v, w, alors ces quotients

différentiels selon s sont infiniments petits vis-à-vis de ceux selon z. »

Voici, je pense, comment on peut y suppléer, et rendre la véritable pensée de M. Kirchhoff,-

suivi par Clebsch dans tout ce qui est ici exposé. Le petit déplacement relatif u (ou v, ou w) d'un point (x, y, :•) d'un tronçon, ou l'excès du

déplacement absolu de ce point sur celui du centre (x^=0, 2/ = 0, ; = 0) de la base du tronçon

auquel il appartient, est supposé varier d'une manière continue ou nulle part brusque,

d'un bout à l'autre de la tige. Si donc / est la longueur de celle-ci, 77- est de l'ordre de

grandeur de J— — °, w; et h étant les valeurs de u aux points qui sont, dans les deux

tronçons extrêmes s = 0, s = l, les homologues de celui (x, y, z) du tronçon proposé, ou

, . du

ayant les mêmes petites coordonnées locales. Quant à •»- , si 1 est la longueur du tronçon

ux — u auquel le même point appartient, il sera de l'ordre de grandeur de 9, t/x et u étant

les valeurs de u aux points homologues de la base * = } et de la base : = 0 de ce tronçon. Les numérateurs de ces deux fractions sont du même ordre de grandeur, savoir l'ordre de la grandeur de u lui-même qui s'annule au centre de la première base de chaque tronçon. Le dénominateur de la première est infiniment ou incomparablement plus grand que le

dénominateur de la seconde. Ilonc les ' ^'V' w' sont incomparablement plus petits que les

^ et peuvent être effacés devant ceux-ci.