VALEURS STATIQUES ET GÉOMÉTRIQUES DÉS CONSTANTES
La considération des termes (179 b), page 415 qui dépendent des composantes transversales A, B supposées prépondérantes, n'est possible que dans l'hypothèse où les quotients différentiels de u, v, w par rapport à s sont du même ordre de grandeur que u, v, w. Si l'on admet,
, , , , , du cv cw . dr. dr.
de plus, que dans les expressions de -x-, ^r > -,— > les termes -p-^ -^
OS ds es ds ds
deviennent très grands par rapport aux valeurs de i\ et de r2, on obtient, en conservant dans les équations (180) les termes correspondant à du dv dw
' ~ërr>
d& ds ds
ffr8 A l^^ B
ds ~E<rX2' Ss ~~ E
ira
Ce résultat a une signification simple. Il montre que la tige doit être
sollicitée, en général, à recevoir une forme telle que les composantes
latérales des forces ne deviennent disproportionnôment grandes pour
aucune des sections transversales. S'il n'est pas possible que la tige
acquière en tous ses points une forme satisfaisant à cette condition, il
y aura certains endroits pour lesquels les forces A, B, perpendiculaires
à l'axe de l'élément, deviendront très grandes, et pour lesquels, par
dr dr conséquent, l'un des quotients différentiels-^, -—, ou les deux à la
os os
fois, acquerront une très grande valeur. Pour voir la signification géométrique de ce fait, il suffit de remarquer que l'on a, d'après les expressions (179) donnant u etv :
d*u B' dPv ^
On a déjà dit, au § 58, que les premiers membres des égalités qu'on vient d'écrire représentent, à de très petites quantités près, les inverses des rayons de courbure des projections de la ligne des centres de gravité sur les deux plans passant par faxe de Vêlement, et respectivement par les deux axes principaux de la section transversale. C'est donc celte signification que possèdent, abstraction faite du signe, les quantités 1\, 1\. Et, dans le voisinage des points dont il vient d'être question, un de ces rayons de courbure, au moins, doit changer très rapidement de valeur, puisque l'un des deux quotients différentiels
-zr> -T3, au moins, devient très grand.
ds ds &
On peut trouver immédiatement aussi la signification géométrique
de r. On a déjà vu au § 27, page 168, que l'angle de torsion d'une tige de longueur / est exprimé par b0l. Dans le cas présent, / a pour valeur la longueur ds d'un élément, et l'on a
la quantité désignée par r a donc une signification telle que rds représente la torsion de Vêlement ds.
§ 50. — Conditions d'équilibre de la tige.
Pour déterminer complètement la forme affectée par la tige, nous allons établir les conditions de l'équilibre extérieur d'un élément de longueur ds, soumis aux forces émanant des élémenls voisins ainsi qu'aux forces extérieures agissant sur l'intérieur de cet élément, et qui toutes ensemble maintiennent l'équilibre de la tige.
Dans la première partie de ce livre, nous avons ($ 28, notations 78« et 78 b, page 170) désigné par A, B, C les composantes totales, et par A', B', C/ les moments de rotation totaux des forces agissant sur la base extrême d'une tige. Nous appliquions les mômes désignalions aux forces agissant ici sur une des bases extrêmes d'un tronçon de tige, de longueur infiniment petite ds, les composantes étant prises suivant les. axes mobiles x, y, z et les moments étant pris autour des mêmes axes, dont les deux premiers œ, y sont tracés sur cette base par son centre de gravité, pris (§ 48, page 410) pour leur origine ; et le troisième, des 2, lui est perpendiculaire.
Pour trouver les composantes parallèles aux axes fixes des x\ y', z', nous projetterons sur chacun de ceux-ci les trois composantes A, B, G parallèles aux autres, x, y, z, et nous aurons, en additionnant les proections sur chacun des axes nouveaux :
Pour la composante totale parallèle à l'axe des x', des diverses forces agissant sur la base considérée du tronçon de lige :
A cos [x,x') -+- B cos {y, od) + C cos (z,x') = Aaj -t- B«2 -t- Ca;
pour celle qui est parallèle à l'axe des y' :
Aßi-f-Bß. + Cß ; et pour celle qui est parallèle à l'axe des z' :
Ay.-M'ys + Cy •
(') Voyez § 48, note de l'équation (177), page 412, la définition do la quantité linéaire £
