ÉQUILIBRE DES TIGES, DÉDUIT DE CELUI DE LEURS TRONÇONS

De même les moments de rotation autour de parallèles à ces trois mêmes axes fixes, tirées par l'origine des autres, ou par le centre de gravité de la base ou section, sur ou à Ira vers laquelle agissent les forces dont nous nous occupons, seront toujours, d après la signification des a, ß, y ,

A 'a! -(- B'w2 -+- C'a , autour de la parallèle aux .< ' ,

(187 c) * A% + !!% + <>. aux// ,

f A'7l-f-B'72-f-C7, aux «'.

Des composantes et des moments semblables agiront sur la seconde base extrême du tronçon, mais avec des signes contraires, et aussi avec des valeurs légèrement différentes, résultant de la substitution à s de s -{-ds, puisque ds est la hauteur ou longueur infiniment petite du tronçon considéré.

A toutes ces forces sur ou à travers îes bases du tronçon, il convient de joindre les forces extérieures agissant (comme la pesanteur) à son intérieur. Si nous désignons par X'dxdyds, Y'dxdyds, Vdxdyds, les composantes de ces forces extérieures parallèlement au système d'axes fixes, et s'exerçant sur un élément parallélépipède infiniment petit dxdyds du corps ou de son tronçon, les sommes de ces composantes, étendues au tronçon entier dont le volume est z ds, seront alors :

Y ils , Vds , Vïds ; où U, V et W désignent les intégrales doubles

(187 d) \}=ff\,dœdy , V= ÇÇx'dxdy , Vf — ffz'dxdy ,

étendues à toute la section transversale ?= i dxdy de la tige.

Égalons maintenant à zéro les sommes des composantes dirigées suivant chacun des trois axes fixes, et effaçons les parties des composantes agissant en sens contraire qui ont les mêmes grandeurs; nous aurons, en divisant pards, ces trois premières équations d'équilibre qui sont celles des composantes, prises respectivement

1 suivant les x' , -7- (Aa, -f- Ba, -f- Ca) -+- U = 0 , ds

j ... .les//', A(Ap1 + ßß1 + Cp) + V= 0 , \ . . • .les z', js (A7l + B7ïH-C7)+W=0 .

Nous aurons les trois autres équations d'équilibre en additionnant de même les moments autour des parallèles aux trois axes fixes des x\ y', z', tirées par le centre de gravité de la première base du tronçon, et en égalant à zéro les trois sommes obtenues. Indépendamment des moments, dont les valeurs A' at -l-B'a2 -h C'a,.... ont été écrites ci-dessus, nous devons observer'que les composantes, telles que A, B, des forces, donnent lieu chacune à un couple, car ces composantes sont appliquées à chacune des extrémités du tronçon de longueur ds, dans des directions opposées, avec des valeurs égales à cela près de différences infiniment petites. Les deux forces C, qui sont dirigées l'une et l'autre suivant l'axe du tronçon, et par conséquent à une différence près d'ordre supérieur, dans la môme direction, ne donnent pas lieu à un couple.

Les moments des deux premiers couples sont :

Ms , autour de l'axe des y , — LV/s , autour de l'axe des x ;

car si, comme précédemment, on suppose que, vu du côté de l'axe autour duquel le moment est pris, un couple positif doit tendre à produire une rotation dirigée dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre, pour quelqu'un qui adosse à cet axe regarderait son origine, et si on se rappelle que, vue de l'axe positif des #, l'aiguille d'une montre se dirigerait de l'axe positif?/ à l'axe positif z, on voit que les axes des couples ci-dessus sont dirigés suivant l'axe des y positifs, et suivant l'axe des x négatifs.

Les moments composants, par rapport aux axes fixes des x\ y', z' seront par conséquent :

a2Kds , ßaArfs , y2Àe?s , afids , — fifids , — y fiels ,

A ces couples (187 c) et (188 a), nous devons joindre ceux qui proviennent des forces extérieures agissant sur l'intérieur de l'élément.

D'après les notations établies plus haut, les moments totaux de ces forces ne sont autre chose que les sommes des moments des forces IL'dxdyds, Vdxdyds, Z'dxdyds, autour de lignes menées parallèlement aux axes fixes des«', y', :•' par l'origine des coordonnées mobiles du tronçon, c'est-à-dire par le point #' = !, y'=rt, z'=Ç, centrede gravité de l'une de ses deux bases. Les points d'application de ces trois forces agissant sur l'élément parallélépipède dxdyds du tronçon infiniment court c ds peuvent être placés en un point quelconque du vo-