EXPRESSIONS DES MOMENTS DE ROTATION

lume, infiniment petit en tous sens, de cet élément, par exemple à l'angle de sa base dont les coordonnées mobiles sont x,y, 0 ; car le eboix de tout autre point n'augmenterait qu'infiniment peu les bras de levier; on peut donc considérer ces points d'application comme placés tous sur cette base pour laquelle z==0 dans le système des coordonnées x,y, z qui a pour origine le point #' = £, y' = rn %'=.% (commencement du § 49).

Les Irois moments de rotation dont il s'agit sont donc :

(h II [Z' (// — ïj) — Y' (z' — £)] dxdy , autour de la parallèle aux x\

fÇ[X'(z, — Q—.2,'(af—t)]dxdy, aux y1,

dsfC\Y'(x'—tj—^(y,—n)]dxäy, . . ,

ds

aux

ou, si l'on y met pour x' — £, y' — yj, z' — 'Ç leurs valeurs (179c) (page 41 7) y., (x + u) -+- a2 (y + v) -+- a (z 4- w) ; ß, (x -b u).. .'. . en faisant z= 0, et négligeant les déplacements v, v, w devant x, i/, :•, on a :

ds jJ[Z' (fcs -H te) - Y' [7ix -H y2Î,)] daafy ,

ds /T[X' (y,.r -h y3y) — Z' (ctf* + «#)] tf./v/// .

<h fflY' («2^-Ha^) — X' (pf* 4- M] '/r% '

où les intégrales doivent être étendues à la section transversale tout entière.

Si on introduit les notations

Ut = If \'x dxdy , U2 = / 1 X' 'y 'dxdy ,

mb) | V4= ffrxdxdy , \2=ffYydrdy,

\ W^ffz'xdxdy , Yfi=jTz,ydœdy ,

on obtient, pour ces moments, les formes plus simples : (PiWi+fcW,— 7lV, — 7J2)fZs , (7iü, +v2U2 — «iWi— «8Wa)<fe,

(«,^-f-«^ — fcU, — ß,U,)&.

Et si maintenant on égale à zéro les sommes des moments (187 c), (188 «), (188 c) autour des mêmes droites, en effaçant les parties de celles du premier groupe qui viennent de forces appliquées en sens opposés sur les deux bases du tronçon, et dont les moments se détruisent, puis si l'on divise par ds, on a ces trois autres équations, oui sont celles d'équilibre de rotation autour de parallèles aux x', y', z' tirés par le point x' = £, y' =rt, z' = £ :

^(A^ + B^ + C^ + A^-F^ + ß^^H-^V.-y^-v^-O, J89){ £ (A% + B'ßs + f/ß) + Aß,— H^ + ViU. +7Ä — «tWt— «2W8=0 ,

A'7l + B'Ï2 + C'y) + À7a - B7l H- «^ + «J2 - ß.U, - pft = 0

Les équations (188) et (180) donnent les six conditions d'équilibre du tronçon infiniment court dont il s'agit. Supposons effectuées les différeniiations qui y sont indiquées, et multiplions les équations de chaque système, d'abord par ap ß4, Yt> puis par a2, ß8, y,, puis a, ß, y, et additionnons chaque fois en ayant égard aux équations (185) page 420 donnant les doubles valeurs trinômes de i\, r2, r, et aux

relations (I81)et (182) entre les cosinus a, ß, y, a( , le système (188)

donnera pour les équations d'équilibre de composantes suivant les x' \ï z'

dk

ds dB

ds

rï\-

«lü + ßtV

rfi-

»JJ H- ß2V

xU-hßV

7lW=0

(-1 90) °p H- (rfi — v A ) + *,U -f- ß2V + y,W = 0

as

Pour construire de même les équations résultant du système (1-89), il faut remarquer que les additions indiquées de produits par

at = cos (x',x), aa= COS (x', y), a = cos (xr, :•), ß4 = COS (y\ x)

des composantes et sommes de composantes de forces ou de moments suivant les ■>■', //', ;•' qui entrent dans les équations (188) comme dans celles (189), reviennent à en déduire les sommes dis composantes des meines forces et des mêmes couples suivant, les axes mobiles des x, y, z, ou, au demeurant, à faire un changement de coordonnées ou de directions de décompositions. Celte remarque donne le moyen d'écrire immédiatement les termes des équations définitives, qui doi-