TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS DE LEUR ÉQUILIBRE
vent provenir des forces extérieures agissant sur l'intérieur des éléments; ce qui conduit à des formes plus simples. En décomposant ainsi les forces X' dxdyds, Y'.dxdyds, 7/ dxdyds parallèlement aux axes x, y, z, on obtient manifestement les composantes :
(«4X' H-pJ' -t-YiZ') dxdyds («,X' -t-pj' + YaZ') dxdyds (aX' +ßY' -+- yZ') dxdyds.
Les sommes des moments des couples procédant de ces forces dans le tronçon zds, pris par rapport aux axes, des x. y, .:-, sont les suivantes :
ds H ( aX' -+- àV + yZ' ) JfOZtfy = l n\ ., -+- pV, -h yWa l & ,
— ds ! i «X' -+- pY' + -jL j xdxdy = — («Uj -h pVj -f- yW4) ds.
ds jfjTtW + p,Y' + VäZ' ) a; - 1 *tX' + p, Y' H- 7lZ') y] <&<fy = = («A -+- p3V, + 7,W, — ottUj — pAVs — 7lWs ) ds.
Les équations (189), en les multipliant et les additionnant comme il est dit plus haut, donnent les suivantes où les premiers termes proviennent de réduction faites, comme pour les équations (190), en tenant compte des équations (185) qui définissent i\, r2. r, ainsi que des relations des cosinus (181) et (182), et où les derniers termes, affectés des Ü, V, W, sont obtenus au moyen des considérations que nous venons de présenter :
(l^. + Wr — Cr. — B -h «U, + BVa + y W, = 0 as
^ + Cr, — k'r ■+- A — «U, - pV, - 7W, = 0
^H-AV,— BV1+asU1+p,Y14-7,W1— «JJ,— pjs— 7lWt= U.
as
Au reste, si l'on avait exécuté sur les termes en U, V, W, l\,.... des équations (189) les mêmes opérations que sur les termes en A, B, C, A', B', C, c'est-à-dire si on les avait multipliés comme ceux-ci successivement par Bt, ôp y, puis par a,. 52. 7,, puis par a, ß, y en ajoutant chaque fois les produits ainsi donnés par les trois équations, on aurait trouvé toujours les termes en U, Y, des équations (191), mais
moyennant qu'on se fût servi, pour simplifier les résultats de ces mul-
tiplicalions et additions, des relations connues suivantes entre les neuf cosinus a, ß
!ai=&7 — 7ih Pi = 7a« ~«»7» 7i = asP— * rV*i «« = ftri — Tfc. Pa = 7«i— «7i. 78==«Pi — K> a=ßi72 — 7ißs» ß=7iaa— ai7a» 7 = «A — ft<V 0
Les équations (190) et (191) peuvent être appliquées partout à la place des équations (188) et (189), et elles en tiennent parfaitement lieu.
Si mainlenant on observe que les quantités (187 cl) U, V, W, dépendent en général des £, yj, Ç définis au commencement du § 49, et
par conséquent aussi des a, ß, ; et si, au moyen des équations
(187) on exprime les A/, B', C'en fonction de rv ra, r qui sont aussi, par
définition, des fonctions de a, ß ; si, ensuite, l'on considère qu'au
moyen de leurs six relations (181), (182), les neuf quantités a, ß,.... peuvent s'exprimer par trois d'entre elles seulement, on voit que les équations d'équilibre ci-dessus, soit sous la forme (188), (189), soit sous la forme (190), (191), formentun système à six inconnues qui sont les trois composantes A, B, C, ctlcs trois des neuf cosinus a, ß,.... en fonction desquels tous les autres ont été exprimés. Je montrerai, au moyen de quelques exemples, comment on doit faire usage de ces équations. .
§ SI. — Examen des cas où les extrémités de la tige, seulement, sont sollicitées par des forces ou par des couples.
Considérons le cas où les extrémités de la lige, seulement, sont soumises à des forces ou à des couples, et où aucune force, émanant de l'extérieur, n'agit sur son intérieur. Alors les composantes eî moments U, V, W, Ur..., W2 de ces forces s'annulent, et les équations (188), se
réduisant à -r- (Àaj 4-Ba2 h- Ca) = 0, , sont immédiatement intégrâmes; elles donnent, K, L, T désignant des constantes arbitraires, dont la dernière représente évidemment une tension longitudinale de la tige :
(195) Aai + B«.2 + Ca = K, A^ + Bp2+C^=L, Ay, -f. By8 + Cy = T.
(*) Ces relations (192) entre les cosinus des angles de deux systèmes d'axes rectangulaires sont démontrées dans la seconde partie de la mécanique analytique de Lagrange (section IX, n° G). On en trouve aussi au Journal de M. Liouville, t. IX, 1844, p. 270, une démonstration tirée très directement des relations plus connues et presque évidentes (181) et (182).
