CONTRACTIONS LATÉRALES

module d'élasticité du corps. Il acquiert immédiatement une signification importante si l'on pose p = l. On a alors

c'est-à-dire que l'inverse du module d'élasticité représente rallongement qu'éprouve l'unité de longueur quand le corps est soumis à la traction 1 pour chaque unité superficielle de sa section transversale. Mais l'extension dans la direction de la traction n'est pas le seul changement qu'éprouve le parallélépipède considéré; car, lorsque ses faces latérales sont libres, c'est-à-dire n'éprouvent pas des tractions en même temps que ses bases, l'expérience prouve qu'en même temps il se contracte dans toute direction perpendiculaire, de sorte que chacune des deux dimensions transversales éprouve une diminution qui est égale à une fraction déterminée de l'extension dont on a d'abord parlé (*). La grandeur de cette fraction n'est pas égale pour les différentes matières (**). Voici sur quelle raison s'appuie l'opinion qu'elle

ne saurait excéder ^. Désignons-la par

en sorte que, D' étant la dilatation dans les sens transversaux, on a

ou des contractions nî1 si <? est positif. Cherchons quel sera le changement correspondant du volume, changement que presque toutes les observations ont montré être positif (***). Un cube pris dans l'inté-

(*) La nécessité de cette diminution ou contraction transversale, restée longtemps inaperçue, peut être prouvée par des considérations relatives au jeu des actions réciproques des molécules, qui varient avec leurs distances les unes des autres. Une analyse fondée sur les mêmes principes dont Navier était parti en 1821, l'avait révélée à Poisson en 1827, ou avant que Cagniard de Latour eût donné les résultats des premières expériences faites pour constater cette contraction provoquée par une traction.

(**) Vu (et c'en est, à notre avis, la seule raison) les différences variées entre les contextures dans le sens longitudinal, qui est celui des tractions appliquées, et les contextures dans les sens transversaux ou latéraux où il ne s'en exerce aucune.

L'auteur paraît penser que cette fraction i) peut varier d'une matière isotrope à l'autre. Cette opinion sera discutée dans la note de la fin du § 16.

(***) Des expériences de VA'ertheim que Clebsch ne connaissait pas ont fait reconnaître que certains allongements de prismes augmentent la densité de leur matière, ou donnent un changement négatif. 11 est vrai qu'elles ont été faites ou sur des bois dont l'élasticité est très différente dans le sens transversal et dans le sens longitudinal, ou sur des métaux étendus fort au delà des limites dans lesquelles ils peuvent revenir à leurs dimensions premières. La conclusion relative à la limite 1/2 de o ne peut donc être adoptée que pour les cas les plus ordinaires des applications. (Voy. Appendice complémentaire de l'édition annotée de Navier, § 92, Voyez aussi le n° 18 de la note du § 16 ci-après.)

rieur du parallélépipède, et dont les côtés avaient primitivement pour longueur l'unité possède, après rallongement, des côtés 1 -H?, 1 — rp, 1 — n<5 ; et par conséquent un volume

(1H-2>)(1 — nî))2,

qui, si l'on néglige les puissances supérieures du très petit nombre D, se réduit à

Chaque unité de volume du corps est ainsi accrue de (1 — 2 n)d, qui ne peut représenter un accroissement véritable qu'autant que (1 — 29)

est positif D'où résulterait que 0 doit être moindre que 5.

Ces considérations s'appliquent encore lorsque p et d deviennent négatifs, c'est-à-dire lorsqu'une force appelée alors traction négative, on pression (Druckkraft), diminue la dimension regardée comme longitudinale, cas où les dimensions transversales augmentent en même temps. On voit donc, lorsqu'on ne sort pas des limites entre lesquelles les considérations précédentes sont applicables, que les effets produits par des pressions sont rigoureusement égaux et opposés à ceux qui proviennent de tractions (Zugkraften)dc même grandeur (*).

C'est bien ce qui a lieu dans les limites restreintes où l'on est ici supposé se tenir. Mais, pour des extensions et des contractions plus considérables, l'expérience indique qu'il n'en est pas de même. En effet, dès qu'il n'est plus permis de négliger les puissances de 3 supérieures à la première, la conclusion précédente n'est plus vraie; alors la force de traction p= /*(?), produisant un allongement Ö, n'est plus nécessairement égale et opposée à la force de pression capable de produire une diminution de longueur mesurée par le même nombre 2, attendu qu'alors, en général, f( — S) n'est pas égal à — f(d) (**).

Entre les limites dont on a parlé, les deux coefficients E, 0, dont le premier est une" force divisée par une surface, et dont le second est Une simple fraction numérique, déterminent complètement l'état relatif d'un corps élastique. Tous deux sont différents pour les différentes

(*) On ne voit pas que cette égalité des effets opposés de tractions et pressions égales résulte de ce qui vient d'être dit. (Voy. la note déjà annoncée de la fin du § 16.)

(*') f ( — 3)» a'ors est généralement moindre en valeur absolue que — f(d). Les contractions, lorsque leur proportion cesse d'être très petite, exigent, pour être opérées, plus de force que des extensions de même proportion : cela tient, sans aucun doute, à ce qu'un rapprochement de deux atonies en exige plus, aussi, qu'un écartement égal, lorsque ces changements de distance sont assez notables, relativement à la dislance primitive ; et c'est ce qui explique, ainsi que je l'ai fait observer depuis longtemps, comment les vibrations calorifiques dilatent les corps ou augmentent la grandeur moyenne de chacune de leurs dimensions.