CAS OU LEURS EXTRÉMITÉS SEULES SONT SOLLICITÉES

Les premiers membres de ces équations ne représentent rien autre chose que les composantes totales, parallèlement aux axes fixes x\ y', z', des forces agissant sur une section transversale quelconque c. Ces composantes étant constantes, il s'en suit que la résultante des forces qui se produisent dans une section transversale a partout la même grandeur et la même direction, en quelque sens que les diverses sections transversales -puissent être dirigées par suite de la flexion de la tige.

On en tire, au moyen de multiplications par at, ßt, y* suivies

d'additions :

(1 93 a) A = Kat + Lß, + Ty, ; B = lv«2 + 1% + TÏ2 ; C = K« + L[i -+- Ty.

Si dans les équations (189) page 428, on introduit ces valeurs des composantes A, B, C, et si on remplace, en même temps, les moments A', B',C par leurs valeurs A' = — Ez/.- >\, B'= — E<rX2r8, C'= — Ecrô-V, tirées de (187) p. 422, on a trois équations dont on déduit, au moyen

démultiplications par <xt, ßt, yx puis par as suivies d'additions, et en

ayant égard aux équations (185) qui définissent i\, r2, r, en xt, a2,..., ce système remarquable :

*s S1 + (xa ~ - î] v + fï ( Kä2 + lh + Tvj = ° '

^ + (xâ nv

qui, comme le remarque Kirchhoff, est exactement identique à celui auquel conduit le problème de la rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe. L'assimilation se fait immédiatement en mettant, au lieu de s, le temps, en désignant par xa, V, ^2, les rayons principaux d'inertie du corps par rapport au point fixe, et par a, 6, y,.... les cosinus des angles formés, avec un système fixe de coordonnées, par les axes d'un système invariablement lié au corps (*).

(*) On trouve en effet, par exemple, dans le Cours de Mécanique fait en 1853 par Duhamel à l'École polytechnique, t. II, n° 110. p. 170, ces équations (5) du mouvement de rotation, autour d'un point lixe, d'un corps solide dont A, B, C sont les moments d'inertie principaux, équations où p, q. r sont les composantes de la rotation autour des x, y, z et L, M, N, des quantités dépendant des forces extérieures appliquées au corps quand il y en a :

xil = (B-C)qr+L; b£| = (C — A) rp + M ; C ~ = (A-B)/>Ç + >\

Le problème des déformations finies à double courbure d'une tige droite est donc résoluble exactement dans des cas analogues à ceux de la solution exacte du problème de la rotation d'un solide. On en verra plus loin des exemples.

45*2 CHAr. IV. — TIGES MINCES.

llfautremarquerque,dans les équations (194) les grandeurs y.2, \\ ~-2 sont des quantités très petites du second ordre. Pour que ces équations (194) puissent être satisfaites, il faut donc, de deux choses l'une :

Ou bien les expressions

K*2 + Lßs 4- T72 , Iv^ + Lß4 + TVl ,

sont partout très petites, K, L, T restant de grandeur modérée; dans ce cas les composantes de la force qui agit sur l'extrémité, prises selon les axes principaux d'une section transversale quelconque, sont donc très petites, c'est-à-dire que toutes les sections transversales se tiennent, à peu de chose près, perpendiculaires à la force appliquée à l'extrémité, et que toute la tige est alors à peu près droite, dirigée parallèlement à cette force.

Ou bien il peut y avoir des conditions extérieures rendant celte condition impossible pour certains points de la tige; par exemple, pour un ressort ou un (il élastique (einer Feder), qui, en certains de ses points devrait faire un angle tini avec la direction de cette force. En ces points exceptionnels, il arrive forcément que la courbure change très rapidement, et que, par suite, quelques-uns des termes qui, dans les équations (194) sont multipliés par y.s, X*, £% deviennent très grands; de cette manière, ces équations restent possibles même pour les points où les composantes ci-dessus cessent d'être très petites. Il peut encore arriver queK, L, T soient très petits; alors il n'y a aucun point exceptionnel, et les équations (194) peuvent être vérifiées en tous les points.

Un cas fort inléressant est celui où K, L, T disparaissent, c'est-àdire où la tige n'est soumise qu'à des couples, et nullement à des forces de traction. Les composantes A, B, C sont alors nulles en chaque point de la tige, et chacun de ses éléments est seulement courbé sans être étendu. Dans ce cas, les équations (194) deviennent semblables à celles qui expriment la rotation d'un corps dont on abstrait la pesanteur, ou bien d'un corps qui tourne autour de son centre de gravité, car elles se réduisent à

^-M*2 — xs)»t, = o,

r77 + ( )ri''2

Ces équations présentent une particularité remarquable : elles ne

§51. — CAS Oü iL N'Y A QUE DES COUPLES AUX EXTRÉMITÉS. 435

contiennent que les rotations r\, r„, r, et elles sont tout à fait indépendantes des coefficients ax, ßt, yp x,,...Le problème peut donc être divisé en deux parties ; la première consistant à déterminer r, i\, rt, au moyen des équations ci-dessus, et la seconde ayant pour objet la recherche des coefficients a, p.... après que l'on aurait trouvé la valeur des r, rv rr

La solution de la première partie du problème s'obtient en multipliant les équations (194 a) respectivement par i\, rv r, et en additionnant les résultais, puis en les multipliant par v?rv XV8, 3;ar, et en additionnant de nouveau. On obtient les deux équations suivantes qui sont intégrables :

dr. , . dr. . dr n

x.-Y, -j-1 -+- ).8r2 -f -h &r -.- = 0 , as ds d s

dr. ,, dr« , r//- n x*r, -r1-h>*rs-r^-f-^r-r= 0 ; as as a s

et dont l'intégration donne, h et m désignant deux constantes aibitraires,

( x*r -\-Jrri-\-s*rs=mi.

Si maintenant, au moyen de ces équations, on exprime deux des quantités r en fonction de la troisième et si l'on introduit le résultat dans l'une des équations (194 a), écrites ensemble

,ln„ , , **dr-, "i?dr. ~-2dr

(195«) dr-

(s3— *2)r8r (x8— ^jrr, (Y- — ^)rtrt

on obtient ds exprimé en fonction de l'une des grandeurs r, et, par intégration, s en fonction des mêmes quantités. En résolvant par rapport à r l'équation ainsi obtenue, on a r exprimé en s, et en opérant de la même manière sur chacune des deux autres équations (195 a), on a, en fonction des, les expressions de r, rv rv La théorie des fonctions elliptiques sert à déterminer les résultats définitifs (*).

Si nous supposons trouvées les quantités r, nous pourrons, de la manière suivante, résoudre la seconde partie du problème.

(*) Voyez analogiquement, même Cours de Mécanique de Duhamel, le n° 120, où le solide, tournant autour d'un point, n'est sollicité par aucune force extérieure, et où on obtient, équation (23), p. 183, dt = dr divisé par le produit des deux radicaux recouvrant des trinômes du second degré en r.

f3i CHAP. IV. TIGES MINCES.

Empruntons au système (184), (185) les trois équations

d% 6& d-, A da. n ä"ß '/y f/a , e"ß , dy

as

Multiplions ces trois équations respectivement par a, at, a,, puis par B, ßt, ßa, puis par y, Yj» y2> e^ additionnons chaque fois, nous aurons :

(19C) ^=,,,i,,,1, J=rA,A. § =rlV,-. ■*.

Par la combinaison d'autres équations prises dans le système (184), (185), nous obtiendrons, tout à fait de la même manière :

du.

as

«foi

rß«,

«Y* ^=rïY-rY>,

et

ils

rPi—

■ Les premières équations des Irois groupes (196), (197) et (197 a) forment ensemble un système de trois équations ne contenant que les a, ou les cosinus des angles des axes tixes x' , y', z' avec l'axe x d'inertie d'une section a; de même les trois secondes forment un système qui ne contient que ceux ß, faits avec l'axe d'inertie y; et, les dernières, un système qui ne contient que ceux y faits avec l'axe particulier des z, ou avec l'élément ds. On peut satisfaire à l'un de ces systèmes, au dernier par exemple, en posant

car, par cette hypothèse, les équations de ce troisième système se transforment identiquement en celles (194 a); et d'un autre côté, à cause de la deuxième équation (194), les grandeurs yp y«i y l'11cö* mêmes satisfont à

équation qui n'est pas une de celles (181) ni (182), données comme relations entre les neuf cosinus, mais qui peut en être analytiquement déduite (*) et qui exprime d'ailleurs une condition devant comme

(*) Voirie Mémoire de 1644 #ur les relations entre les cosinus, etc., cité en note à propos des relations (192), p. 450.

g 51. — SECONDE PARTIE DU PROBLÈME DE L'ÉQUILIBRE DE LA TIGE. 455

celles (181) être remplie, puisque y4, y2, ^ représentent les cosinus des angles que forme l'axe fixe des z' avec les trois axes rectangulaires des x, y, z-, qui sont liés à l'élément de la tige. Sans doute, l'hypothèse exprimée par les équations (198) donne une direction déterminée à l'axe z' dont la position avait d'abord été supposée tout à fait arbitraire, mais cette restriction n'ôte rien à la généralité de la solution. Il suffit, pour l'étude delà question, d'admettre la possibilité de la direction donnée par cette hypothèse.

Si les y sont connus, on peut, par les relations suivantes, déterminer les a et les ß :

a- + ß3 = 1 — vâ , « a + ß S = — v y ,

a- + ßa = 1 — v1' , «i»,-!- %%= — YiÏî •

D'après les trois équations de gauche, on peut poser, wXJ w2, w étant trois angles quelconques,

f * = i /l — y2 cos w . ß = \/l — y2 sin w ,

(199) ( az=:i/l — y!cosnv, • ß' = i/l — ys sin w ,

9I = \/ 1 — Y" cos w . ß = i/l — y2 si11 w >

et les trois équations de droite sont aussi satisfaites si, entre ces angles et les y, on a :

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