COS (W, W I
COS l\v — W,J
cos (wa — wj
YjYj
Ces trois dernières équations permettront de calculer les trois angles w lorsque l'un d'eux sera connu. Pour en déterminer un, on peut employer le procédé suivant.
Reprenons les relations (192) déjà données au §50, p. 450 :
* = ?iY2— fctfi . «i = ?*Y — >'?* . «8 = ßYi — ßiY » ? = Y.*2 — Y**, > ?i = Y2* — Y«2 , ß8=Y«1— Tla , Y = »i?2 — «ï?i • Yi = ai? — a^ . Y«=«ßi— «iß •
Ces relations sont connues. On peut d'ailleurs les vérifier en élevant au carré les équations (200) et en les multipliant deux à deux l'une par l'autre; on constate qu'elles deviennent identiques lorsqu'on tient compte des relations plus connues (181) et (182). Cette vérification peut laisser du doute sur les signes des seconds membres, car elle s'opérerait de la même manière si tous les signes de ces membres étaient changés à la fois. Ces deux systèmes différents désignes correspondait à deux systèmes différents d'axes de coordonnées, et les signes à adopter doivent être évidemment les mêmes pour tous les seconds membres, quelle que soit la position des axes que l'on considère. Or, on a déjà dit au $ 49 que les axes doivent être placés de telle manière que, par une rotation convenable, les axes positifs du système variable puissent être rendus parallèles aux axes positifs correspondants du système fixe. Dans cette position, l'on a %i = ßs = y = 1, et tous les autres cosinus s'évanouissent. Mais comme, alors, les équations (200), avec les signes que l'on y a donnés aux seconds membres, satisfont à celte condition, ces mêmes signes doivent être maintenus pour toute autre position des axes, tant que l'on conserve l'hypothèse relative à la direction des axes positifs l'un par rapport à l'autre. Cependant, les équations (199) donnent :
i- — langw , !-J=: lang w, , - =tangw, ;
ou
w — arc lang- , w, = arc tang — , w2 = arc lang ' ! :
ce qui fournit par différentiation
a2+ßä ' J a + i3 ' «' + ß*
Si on met pour les dß, <h. leurs valeurs données par 196 , (197) et si Ton se sert des trois dernières relations 200; entre les cosinus a, ß, y, pour simplifier les numérateurs, on a :
Comme les seconds membres contiennent seulement des quantités que l'on a déjà exprimées en fonction de s, on obtiendra immédiatement w, wx, w,, ou l'un d'entre eux, par intégration.
\ 52. — SECTIONS DONT LES RAYONS d'iNERTIE SONT ÉGAUX. COUPLES SEULS. 457
En résumé, les équations 195 el (195« nous donnent les r en fonction des; les équations (198), 199 , (199a' el 201;, nous donnent le moyen d'exprimer, aussi en fonction de s, les cosinus a.... El si nous calculons ç, r„ l en intégrant les équations
d\ <h Q al
as as
qui sont celles (183) de la page 419 en négligeant la petite quantité ? devant l'unité, nous aurons ç, rn Ç exprimés en fonction de l'arc s de l'axe de la tige, et par conséquent les équations déterminant la l'orme courbe prise par cet axe.
\ 52. — Application au cas d'une tige dont les rayons principaux d'inertie sont égaux, et dont les extrémités sont sollicitées seulement par des couples (*).
J'appliquerai les résultats de l'étude précédente à un cas dans lequel on peut employer les fonctions elliptiques et qui se présente lorsqu'on a :
c'est-à-dire lorsque les moments d'inertie principaux •/., X de la section transversale deviennent égaux, comme il arrive, par exemple, lorsque cette section transversale est un cercle, ou bien un carré, un triangle équilatéral, une croix de Malte, etc. Les équations (194) page 451, en faisant
prennent alors la forme
dr drl __ d)\
ds ' ds J ds ~ '
La première de ces équations montre que la torsion r a la même valeur constante dans tous les éléments, en sorte que ce que nous désignons par e est aussi une constante. Par suite, les deux dernières
(*) Cas analogue à celui de la rotation, autour de son centre de gravité, d'un solide de révolution (même Cours de Duhamel, n° 121).
des mêmes trois équations, contenant rtei rs, s'intègrent et donnent les deux suivantes où a et b désignent des constantes arbitraires :
( r.=ta sin es + b cos es ,
1 ' [ r.2 = a cos es — b sin ss .
Ces intégrales ont la généralité nécessaire puisqu'elles contiennent deux constantes arbitraires. Si l'on introduit ces valeurs de i\ et i\ dans les équations (195), elles donnent, vu x =»>, et r,a -f >'i2 = »" + l>l '■
Les équations (198) page 454, donnent, vu les valeurs de rv r8, m%
„ a sin ss + ft cos es
La première des équations (201), page 456, devient, C désignant une nouvelle constante arbitraire :
a cos ss -
— & sin es
,T=rC V^(tf + y) + »v,
On a alors, au moyen de (198) et de (199) :
x2 sfâFTV1 ( \jv> (a2 + fe2) + iv
