COS

yV (a2 + t2) + ^V2

= WaH» „rin^r.-^^ + P + ^.K

\/xl (a2 + V) + s-*/-* \ *2

V^x* (a2 + i2) + ôV

ou enfin, par intégration des équations (185) de la page 419 en les rédui-

i ] d% tir. dl ,,., « ., ,

sant a -r-= a » -y- = , — =y, comme nous avons déjà tait, par la

§ 5'2. — ï'i>|;si(»N ALORS f.ONSÏVMK. FLEXION EN HÉLICE. 45'*

suppression de ? devant l'unité, et en appelant ç0, y;0, f0, des constantes arbitraires :

•/.'* la- -F A-)

— sin f C — - \V (a1 + /'-) -f s*r* j -

i*sJf?+& (r s n ; r ~\

Ces équations représentent une hélice dont l'axe est celui des z\ cet axe dont la direction a été déterminée par les formules (198) (*). Plaçons l'origine à une extrémité de la tige, et supposons cette extrémité maintenue dans une direction fixe. Choisissons l'axe des a/ de manière que la tangente à Thelice, à l'origine, soit contenue dans le plan x'z' .

dr Alors, pour s = 0, les valeurs de £, vu Z, et de -y1 s'évanouissent aussi.

On a donc :

et on obtient ainsi les équations ordinaires d'une hélice :

Äs

(j = a sin — , , r, = p cos

où, p désignant le rayon du cylindre de l'hélice, et h le pas,, sont déterminés par les formules

y) \!a'- -r b*- li -A-'-'h-

x* (a1 + b'1) -r '-'"r1 ' 2?r x* (a* + fc) + £■♦/•* "

Soit / la longueur de la tige; supposons qu'a son extrémité agissent

(") VYantzell, ingénieur des ponts et chaussées et répétiteur à l'École polytechnique, mort en 1848, à l'âge de trente-quatre ans (voir sa biographie au numéro de septembre 1848 des Nouvelles annales de mathématiques de Terquem) , a reconnu le premier, et dit à la Société philomathique, le 29 juin 1X44, que la courbe affectée par une tige primitivement droite, sollicitée obliquement par un couple, était nécessairement une hélice. Il y avait été amené en simplifiant et complétant, dans une note insérée aux Comptes rendus du 27 juin,, t. XVII, p. 1197, la solution donnée huit jours avant id., 17 juin, p. 1115), par Binet, au moyen des fonctions elliptiques, du problème traité par Clebsch, et qu'il appelait : des équations de la courbe élastique à double courbure. (Voyez aussi mes INoles des 1er et 15 juillet de la même année (1844) du t. XIX, p. 40 et 181.)

4i0 CHAP. IV. — TIGES MINCES.

les couples dont les moments sont A', B', C par rapport aux axes invariablement liés à la dernière section transversale, et supposons que ces couples soient les seules forces qui produisent le changement de forme de la tige. Les équations (187) page 422 qui établissent des relations entre ces moments et les rotations rt, r8, r, et les équations (202) page 458, fournissant des expressions de?\, r, donnent, pour s =1, vu y. = \,

X' = — Ecv.s (a sin d -\- b cos eZ) , B' = — Eo-x.9 (a cos e/ — & sin si) , C = — E<rôar.

En comparant avec les équations (205) page 458 dans lesquelles on fait également s = Z, on a :

Yl:r2:Y=A':B':C'.

Ces équations montrent que l'axe de Vhèlice qui fait avec les axes particuliers x, y, z, de Vêlement, les angles dont les cosinus sont yP Yr T» est parallèle à Vaxe du couple résultant des couples A', B', C. C'est ce qui détermine la direction de l'axe de l'hélice. Le rayon et le pas peuvent s'exprimer également au moyen des moments de ces couples si l'on observe que

sja1 + b1

Ces valeurs, introduites dans les expressions ci-dessus de p et de h donnent :

E(txs v/.V' + B'2 h E<r/.2C

A'2 + B'2 + C'2 2tt — A'2 + B'2 + C/2

i 53. — Flexion d'une tige primitivement droite, dans un plan qui contient un des deux axes principaux de toutes ses sections transversales.

Comme second exemple, j'étudierai la flexion d'une tige dans un plan. Je prendrai ce plan pour plan des x' z', je placerai l'origine à l'une des extrémités de la tige et l'axe des z' parallèle à la force qui doit agir sur l'autre extrémité. Comme dans ce cas, l'axe des y est

§ 55. — FLEXION D'UNE TIGE DROITE SUIVANT UN AXE PRINCIPAL DES SECTIONS. 441

parallèle à l'axe des y' puisque l'un et l'autre sont perpendiculaires au plan de flexion, on a :

«, = cos [y,x') = 0 , y, = cos (y,z') = 0 , fi, = cos {x,tf) = 0 , ß = cos [z,y') = 0 , % = cos {ij,}/) = 1 ;

et les dérivées de ces cinq cosinus par rapport à s sont nulles. Par conséquent aussi, d'après les doubles valeurs trinômes (185) de i\, i\, r, page 420, on a :

/■ = 0 , rt = 0 .

Si on désigne par 9 l'angle des axes des z et des z' ou l'angle des x et des x', et par conséquent par (90° — ?) l'angle que fait l'axe des x' avec celui des z, on a :

at = cos [x,xf) = cos f , « = cos (z,a/) = sin y ,

Yx = cos [Xyz') = — sin f , y = cos (z,z') = cos 9 ;

d'où, d'après les mêmes formules (185) :

Comme le montrent les équations (187) page 422, et comme on peut s'en rendre compte par ce qui précède, les moments de rotation s'évanouissent tous à l'exception de celui qui est pris par rapport à l'axe des y et qui est :

* * ds

Les six équations d'équilibre extérieur se réduisent, d'après cela, aux deux suivantes qui ne sont autre chose que la première et la troisième (193 a) du § 51, page 451, déduites de la première et de la troisième (193) :

A = K cos f — T sin cp , C = K sin y + Tcosy ;

équations où K et T sont des forces constantes agissant sur chacune des sections transversales parallèlement aux axes fixes des x' et des z'. D'après l'hypothèse que nous avons faite, une seule force devait agir à l'extrémité parallèlement à l'axe z'; en général, K doit donc disparaître, en sorte qu'on a simplement :

A = — T sin <f , C = T cos f ,

T désignant une tension longitudinale positive, qui est donnée.

442 CHAI'. IV. TK.ES MIXCKS.

Les équations (191) du § 50, dans lesquelles il faut faire nulles, en conséquence de ce qui précède, les quantités A', C, B, U,, Wr l2, W~„ rr r, [i, ßt, a, el v2 se réduisent à la seconde d'entre elles qui devient sim-

plement —. — |-A=0, ou bien, avec les valeurs ci-dessus de B' et de A :

Et/.- -î-r= i sin y .

Cette équation détermine la courbure de la tige. 11 est à remarquer que les équations (187 b) page 425, qui exigent des considérations particulières pour les points où la courbure peut changer très rapidement, sont satisfaites identiquement.

Si l'on multiplie l'équation ci-dessus par 2y et si l'on intègre les

deux membres, on peut lui donner la forme :

\ IIS] KcTA2

Je rappelle que -j- est l'inverse du rayon de courbure de la ligne

des centres de gravité des sections transversales de la lige, puisque 9 désigne l'angle de la tangente à cette ligne avec l'axe des z'. A l'extrémité de la tige, où n'agit aucun moment de rotation, le rayon de

courbure est infini, et par conséquent -^ = 0; si donc on désigne

par », l'angle que la tangente à l'extrémité de la tige fait avec l'axe des a', on a, d'après l'équation précédente :

0 = (1 — p—r; COS », , l'.ov.-

ce qui détermine la valeur de la constante C. En portant cette valeur dans l'équation générale, celle-ci devient :

'<Vr 2T

d'où l'on tire

\ 2 ICOSy, COS yl

et, en intégrant depuis un point indéterminé s, 9, jusqu'à l'extrémité