PIÈGE SOLLICITÉE DEROIT A LA FLEXION

libre où s= /, -r = vr

Y Eor) - t h \ l I COS ^ — COS f)

Cette équation ne renferme qu'une seule constante arbitraire <pt; Pour la déterminer, supposons que la direction de la tangente à l'extrémité fixe de la tige soit donnée par la valeur ç=<p0, laquelle, pour que \Zcos<p, — cos<p ne devienne pas imaginaire, doit être telle que cos9„<cos91. Alors, si l'on fait à la fois, dans l'équation ci-dessus, s = 0, et 9 = ç0, on a :

(205) ii/— = r~=

COSyt COS q?)

Au moyen de cette équation, on peut déterminer ?t qui s'y trouve seule inconnue.

J'examinerai avec plus de détail le cas particulier où 9„ = -, c'està-dire où la direction initiale de la tige est exactement opposée à celle de la force qui agit, sur elle (*). Dans ce cas, l'angle 9 diminue constamment de 9(J à 9t ; et, pour que la quantité sous le signe / dans l'équation (205) soit constamment positive, il faut prendre le signe négatif du numérateur; et par suite l'équation (205) se transforme en la suivante :

(If f*r. (bj

VEsi' J ^lc

Comme cos^1 est nécessairement plus grand que cos|, on peut, à la

(*) C'est le cas de la pièce debout, ou sollicitée debout comme si elle était verticale, appuyée en bas sur le sol et chargée en haut par un poids. C'est aussi le cas de la première des huit espèces de courbes élastiques d'Euler [Additamentum de curvh etasticis, a son bel ouvrage Méthodus inveniendi, etc., 1744) donnant lieu au problème de la foi-ce des colonnes, même ouvrage de 1744, ou Académie de Berlin, 1757).

Lagrange aussi s'en est occupé (Sur la force des ressorts plies, Académie de Berlin 1769, et Académie de Turin, volume de 1770-1773), et remarquait déjà que la solution exacte du problème des courbes élastiques planes dépend de la rectification des sections coniques ou de ce qu'on appelle aujourd'hui l'intégration des fonctions elliptiques. — Voyez aussi Y historique en tête de l'édition de 1SC4 des Leçons de Xavier, nos XIII et XIV. — Voir aussi le § 89 ci-après.

place de p, introduire un angle <p défini par la relation

cos ± = cos ^ sin ■!/ .

Ce nouvel angle augmente de 0 à ^ tandis que o diminue de % à <pt; et,

vu que ^ = cos û cos bd<b, l'équation précédente devient :

^,=£ "*rjCV

fW

1 — cos--^ smy

<-ette formule donne lieu à une observation remarquable. Comme le dénominateur est toujours plus petit que l'unité, l'intégrale est plus grande que celle qui serait obtennue en remplaçant le dénominateur par 1. Mais, par cette substitution, l'intégrale devient :

On a donc toujours nécessairement :

ou, en d'autres termes, si la longueur l, ou la force T ne dépassent pas la limite indiquée par cette équation, il ne se produit, en général, aucune flexion de la tige (*). Mais si / et T sont assez grandes pour que cette inégalité soit satisfaite, la théorie des fonctions elliptiques (**) donne la règle suivante pour résoudre le problème. On détermine d'abord une grandeur/» qui est, en général, très petite et qui satisfasse

(*) Cette remarque avait été faite dèsl74i par Euler (Additamenlum cité); la force <!>■ la colonne n'est autre chose que la valeur qu'on tire pour T de l'équation qu'on a en remplaçant > par =.

(") C'est plutôt ce qu'on appelle la théorie des fonction* inverses des transcendantes elliptiques, d'Abel et de Jacobi. La solution ici donnée par l'auteur en offre une application qui est surtout curieuse.

Lagrange en avait donné une en développant la puissance — - de ce que recouvre le

radical du dénominateur de la quantité à intégrer.