SOLUTION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES INVERSES
à l'équation :
'W^=i+2p^2ij'~-,>'
ce qui, si / et T ne sont pas très grands, s'opère facilement. On a alors immédiatement :
/ j, 2{>-f-2ty-4-2y//>*
V COb2~ i T^-fyrVi
et on a en même temps le développement :
/■ 2v/psin__2\/>9sm-j7-^
cos -= v / c°s o ^ "•
1 — 2/jcos -y — 2p'' cos -|
ce qui détermine la direction de la tangente en chaque point. La coordonnée ; s'obtient au moyen de la formule :
* — J0 sin uls = (y/2 (cos ?l — cos») — \/-'cos?1 — 1>) l/ -^- > tandis que la coordonnée 1 s'exprime par :
E<rAaU8g 1— fy — 25/r — (2n-f- 1 )2 i— g) 2
( \—p — jr— (— p) -
. wS o . • 2-5 io 9 • ^TS 4/; sin -t ojr sin — — h l zp9 sin — ,
OrS
l — 2pcos-j-+-2p*cos-y 2p9co§-y— h . . . . *
Lorsque / et T sont assez grandes pour que/>, ainsi défini, ait une valeur voisine de l'unité, ces développements ne sont plus applicables. Alors, on introduit, à la place dep, une autre grandeur;/ définie par la formule :
Cette quantité/)' est toujours très petite lorsque p devient voisin de
cos ^
l'unité, et l'on a alors les développements suivants, qui sont très convergents, et où l'on a posé, pour abréger, /' = — , (',' ,■ :
-s KS "2rS -2-s
cos 5 l J,'(/-he~FjH^(e"FH-.e~ir)... . J sin 1 1 H- />' (/ -+-<TF) H- p'* (e~ +e T) +
;= »^2(008^ COSy) — l/ 2 (COS fi -+- I) ^ i/ -|p 5
Ea*logj/)o/ , , log// 1— V — 25//-'. . .(2»H--l)-(— />') * •■ ^7 (^ «-*) -If/pi? -e^h
g 54. — Rapprochement avec la théorie ordinaire des petites déformations des tiges primitivement droites.
Je compléterai l'étude précédente par quelques remarques destinées à établir un rapprochement des formules qui viennent d'être données avec la théorie ordinaire, et aussi, à donner plus de généralité aux résultats obtenus.
Pour la comparaison à la théorie ordinaire, je vais, dans les équations (188), (189), pages 425-428, remplacer les grandeurs A', B', C par leurs valeurs tirées de (187), page 422 et introduire au lieu de rp r, ,r, trois nouvelles quantités p qui sont leurs inverses, savoir :
Pi * pi ' p
D'après ce qui précède, pt et p2 sont les rayons de courbure des projections de la courbe des centres de gravité sur les plans principaux liés invariablement à l'élément, plans qui passent par l'axe de l'élé-
§ 54. — RAPPROCHEMENT AVEC I.A THÉORIE ORDINAffiE DES TIGES. 447
ment et par les axes principaux de la section transversale ; et — indique
une torsion. Les équations (188) et (189) entre les composantes de forces
ou de moments suivant les x', y', z' peuvent être écrites, en mettant
dans ces dernières, pour A', ß', C leurs valeurs tirées de (187),
rt = — p— r...., modifiées par ces nouvelles notations,
I ^{X«l + \i*i-hC*)=— U, ^(Aßi + Bßa +(#)== — y,
-(ATi4-By,-hG-/)=— W; as
où nous rappellerons que [§ 28, p. 171] A, 1), C sont les sommes de composantes suivant x, y, z, des tensions qui agissent sur les divers éléments ch d'une section a, et que (g 50, p. 425), U, V, W sont les sommes de composantes, aussi suivant x, y, z-, des forces extérieures agissant à l'intérieur d'un élément de tige, divisées par sa longueur ds ou dz; enfin que (même g 50, page 427) Ux, Vp W, sont les sommes des moments, aussi divisées par ds, des mêmes forces autour de l'axe des y tracé sur la base de ce tronçon par son centre de gravité ; U2, V2, Wa étant de même leurs moments autour de celui des x.
Les équations (187) permettent de poser immédiatement des conditions aux limites; car, appliquées à l'extrémité de la lige, elles font connaître la courbure et la torsion à cette extrémité, d'après les moments des couples qui y agissent. Ces équations donnent en effet :
^07)- = — ■=—, (flexion) ; - = — —T-> (flexion) ; - = — - — -(torsion). />! Lax- p2 Enù? ' p Eu&a
Remarquons ici, en passant, ce qui a déjà été dit plus haut, que dans le cas d'une flexion plane sans torsion, ces six équations, vu (paoe iïl | ai=0' Y* = 0> Pi=0, ? = 0, P, = l, x1=Y=C0Sf!, a= — Y1 = sin?,
- = 0, 1\ = - — 0, se réduisent aux trois suivantes :
P Pi
y (A cos y -)- G sin y) = — U,
(208) { ^(^Asmf+CcosT)=-W,
Eo-/2 — ~ — A + U, sin '-a -f- Wj cos es = 0. as
Mais, môme les équations générales (206) où l'on conserve les -, -,
P Pi se simplifient notablement et se ramènenl en partie aux formes usitées,
lorsqu'on suppose que les déplacements de la tige sont très petits partout. Alors, les deux systèmes de coordonnées à axes variables x, y, z, et à axes fixes x', y', z' ne diffèrent, en chaque point, que très peu l'un de l'autre quant aux directions. Les trois cosinus an ßa, y des angles de x' avec x, y' avec y, z' avec z diffèrent très peu de 1 , et les six autres très peu de zéro. Les équations (206) deviennent alors :
ds
Brf^+B-W.=0
as
EtV-p—A. + \V. = 0 as
ds
di
E^-/- — V1-j-U, = 0 as
Dans les expressions de U, V...., les coordonnées par rapport aux axes variables des x, y, z pourront être remplacées par celles qui seraient prises par rapport aux axes fixes des x', y', z\ de sorte que ces grandeurs ne sont plus que des fonctions de la distance s de chaque section de la lige à l'une de ses extrémités.
Nous laisserons de côté, provisoirement, les deux équations du bas de ce tableau; elles nous serviront plus tard à déterminer l'extension longitudinale ainsi que la torsion; et nous ne considérerons d'abord que les deux premières de chaque colonne.
Si nous intégrons celles de la première colonne de s à /, et si nous désignons par A,, 1!; les valeurs de A el Ii à l'extrémité de la tige, nous
g 54. — FLEXIONS SUIVANT DEUX DIRECTIONS. 4|(.)
déterminerons les valeurs de A et B relatives à ses autres parties; cl en les portant dans les équations de la seconde colonne, nous aurons les quatre suivantes :
A=A, + J lîds, Bta»-^ = Ai+ / Utft-Wlf
| B = Bi-hJ VA, E«,-^1^— Bi— / VVZs-hWs.
Voyons maintenant comment se simplifient les expressions des pv pa. Si le système des coordonnées #, //, r- reste toujours très voisin, en direction, du système fixe ./■', //, z', les cosinus a„ p„ y sont toujours très voisins de 1, et les autres très voisins de zéro. On voit même, d'après les trois relations (181) entre les carrés des neuf cosinus, que ax, ps, y ne peuvent différer de l'unité que de quantités très petites du second ordre, tandis que les relations (182) entre leurs produits deux à deux, en négligeant les quantités très petites d'ordre supérieur, se transforment en :
ßH-Ys=0 , YiH-«=u , aj-f-ß^O .
En même -temps, les équations (185) p. 419 deviennent, lorsqu'on néglige toujours les quantités très petites d'ordre supérieur :
— (E ° — lh
ds ' ** (Is
Mais on peut aussi, avec la même approximation, remplacer s par la coordonnée z mesurée parallèlement à l'axe de la tige déplacée, et remplacer de même r, rt par les petits déplacements u, v d'un point de la ligne des centres de gravité, perpendiculairement à celle-ci. La coordonnée Ç peut être remplacée par 3 + ?*;, de sorte que w représente les déplacements longitudinaux de chacun des points de la ti<?e. Les deux premières égalités ci-dessus deviennent alors :
du <lv
a — — Ti=7-' ß= — ïî=-r • (Iz ' '- (h
Les quantités xv ßt qui entrent dans la troisième égalité ne peuvent s'exprimer en fonction de «, v, w. Ces quantités correspondent en effet à une espèce particulière de déplacement, savoir à la torsion,
dans laquelle le centre de gravité de la section transversale n'est pas déplacé. Posons :
(208 c) — Brt=p1=4»,
tle sorte que l'angle ty désigne la rotation de la section transversale par rapport à sa position initiale. Les équations (185) page i20 nous donneront, en y attribuant à a, Yi> ß» — Yï> — a-v ß* leurs valeurs que nous venons d'écrire, et à a17 ß2, y la valeur 1, et en effaçant les produits de quantités très petites, les valeurs suivantes des r ou des p :
(QAO / __j fffi ^ , ___£— ^ 'i!i' — i ^2 ^
1 pj ds </;-2' - p2 ds dz'' p ds ~ dz'
Ces équations confirment ce qui a été dit au commencement de ce g 54, savoir que pr pa sont les rayons de courbure des projections
île la courbe des centres de gravité, et que - mesure la torsion de la
P tige. La signification de p, et de pa se simplifie en ce que la projection
de la courbe des centres de gravité, dont ils sont les rayons de courbure, ne doit plus être faite sur des plans successivement variables pour chaque élément; mais, en négligeant de très petites quantités, on peut admettre que cette projection est faite sur des plans fixes, à savoir ceux qui, dans la position initiale de la tige, passent par la ligne des centres de gravité et par les axes principaux des sections transversales.
En différentiant par rapport à s ou à z les équations (208 b\ de la
deuxième colonne, et mettant pour — > —, leurs valeurs r;> -p- ;> 1 on
p2 Pi dz* dz
obtient les équations différentielles :
r, ,a dhi ,, d\\\ r , d>v .. . 'AV.,
(209) E<r>.2 T-r=U H- -r1 , Effx2 —-= Y -f -,
dz1 dz dz* dz
avec les conditions limites ci-après, tirées des mêmes (208 b), mais non différentiées, et qui doivent avoir lieu pour z = / (s = l).
(209a) EM (j£\ =— Aj+CWO/, Eff*8 (J|) =—B/-h(WI)/;
expressions donnant la valeur de ce qu'on appelle aujourd'hui les efforts tranchants.
On peut encore tirer des équations (207), page 447. fournissant les
\ .Vt. - FLEXIONS SANS TORSION. EFFORTS ET MOMENTS. 451
valeurs de — > — en fonction des moments composants A', B', si l'on
met pour —•> - leurs autres valeurs données tont à l'heure, les con-
Pi P»
ditions-limites suivantes :
où (A')p (B'i, représentent les couples ou moments de forces agissant
sur l'extrémité de la tige; et l'on a ainsi reconstitué complètement le
système de formules ordinairement appliqué, et qui se trouve donné,
par exemple, dans le Traité de Mécanique de Poisson (*). Mais il est
bien évident qu'ici on a appris à connaître exactement la portée de ces
équations qui sont déduites d'autres plus générales se rapportant à
des flexio)is finies.
On peut trouver immédiatement les formules précédentes en écri-
E<nts vant que, pour chaque section transversale, le rapport — est égal
au moment de rotation des forces extérieures qui agissent sur la tige, depuis la section transversale considérée jusqu'à l'extrémité, du côté des s croissants. Une formule de cette espèce a déjà été trouvée et démon'rée au § 58, sous le numéro 117, page 2(S6, pour le cas de sections transversales finies, et dans l'hypothèse où les extrémités seules de la tige sont soumises à des forces extérieures. Les considérations qui viennent d'être présentées montrent que l'application de ces formules serait justifiée, alors même que la tige se trouverait soumise à l'action de forces quelconques : mais seulement, dans ce cas, les formules dont il s'agit ne donnent plus que des résultats approximatifs, et ne deviennent tout à fait rigoureuses que quand les dimensions
(*) Clebsch aurait sans doute aussi, s'il en avait eu connaissance, cité, en ce qui regarde la flexion plane, Navier (Résume des Leçons à l'Ecole des ponts et chaussées, 1826), qui, le premier, donna sa véritable expression au moment total des résistances élastiques des fibres tant étendues que comprimées, pour une section de forme quelconque, etc. ; et peut-être aussi, en ce qui regarde la flexion à double courbure, ainsi que la flexion déviée, ce que j'ai donné en 1845 (Comptes rendus, 30 octobre et 6 novembre), principalement en ce qui regarde le troisième moment (celui des forces autour du rayon de courbure), dont il faut tenir compte lorsque la tige était primitivement courbe, ou seulement lorsque ses sections n'ont pas des moments d'inertie égaux autour de toutes les droites tirées dans leur plan par leur centre de gravité. La considération du troisième moment en question, omise par Poisson, comme Lagrange avait omis le moment autour de la tangente, met en défaut dans les cas indiqués le tbéorème de constance de ce dernier moment, entre deux points d'application de force, que Poisson avait cru apercevoir et constater. (Voir surtout les n0' XX et XXI de Y historique mis en tête de la 3e édition des Leçons de Kavier, 1864.)
452 r.ITAP. IV. TIGES MINCES.
de la section transversale deviennent très petites; l'approximation qu'elles fournissent est d'autant plus grande que les dimensions transversales de la tige sont plus petites. On a ainsi, pour les applications, une base certaine et solide.
Les formules (209) et (209a) peuvent avoir besoin d'une modification qui devient essentielle lorsque l'extension longitudinale de la tige est très grande. Dans ce cas, il n'est plus permis de négliger, dans les équations (206), page 447, les termes Ca, Cß. Et alors, au lieu des équations (208a) de la première colonne, on obtient, des trois premières (206), (toujours en faisant %l= cos 9 = 1, a,=0, ß,= l , ßx=0, Y = cos<p= 1, Yi== — sm ? tr^s petit, y2 — 0), si on les intègre, les suivantes où
représentent, comme dans le cas des équations (195) du § 51, page i-"0, les composantes totales de forces agissant sur l'extrémité de la tige, et dont la troisième est une traction longitudinale.
A + C« = K4- f Uds, B+C[i = L+ j \ds, C=T + f Wds.
Dans le cas actuel, la composante T est supposée très grande, et on peut alors, dans les deux premières de ces équations, remplacer C
par T en négligeant I WcZs qui est petit par rapport à T. Mais on a
aussi, avec la môme approximation :
d u . dv
«= j- et ß=-ri
dz dz
de sorte que l'on peut poser :
Mettons les valeurs de A et B, ainsi trouvées, dans les deux équations de la deuxième colonne de (208a), [où nous avions mis simplement les valeurs de A et B données par la première colonne de (2086)1.
g 54. FLEXIONS AVEC FORTES TENSIONS. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 455
Nous aurons, au lieu de celles de la deuxième colonne de (208/;).
EffX3
EtX
Si 1 on met — •=-; pour — et -n pour — comme ci-dessus. 1 on a: dz* l p, aza p2
1° en différentiant ensuite les deux membres par rapport à s ou à z,
les deux premières des suivantes qui remplacent celles (206) ; 2° en les
particularisant pour s = l, les deux dernières qui, ainsi, remplacent
celles (209a) :
E<rXd?-Tdi*"+ü + dT'
r/:-' az dz
w(S)=-*.+(wj.=-K+ t(b),-hw.)i •
Effx* R-. =■
Il est remarquable qu'ici, comme précédemment, w et ü sont complètement séparés l'un de l'autre et peuvent être déterminés isolément.
De la dernière équation (209c) ressort une autre conséquence, c'est la loi de l'extension des divers éléments de la tige. Si l'on représente comme ci-dessus par 3 l'extension de l'unité de longueur, ou l'extension de longueur proportionnelle, dans chaque élément, l'équation (187a) qui est (p. 422)
s'explique d'elle-même; car du moment que l'on suppose la traction C uniformément répartie sur la section transversale où elle agit, un élément ds ou dz acquiert, après le déplacement, la longueur dz (1 +?). La coordonnée £=2+10, d'une section transversale z, après le déplacement, est donc
+ w= I (l-hZi)dz
c'est-à-dire que l'on a :
- iltr
11 en résulte que la dernière équation (209c) se transforme en la suivante :
(209 e) E.^=T+ f'wds,
ou bien en différentiant une seconde fois
dz2 avec la condilion-limite, pour z = l:
(209 f) e* Ä) = rr .
Ces formules déterminent la loi de l'extension longitudinale,5 et cette détermination est, comme on le voit, indépendante de celle des déplacements transversaux u et v.
On trouve de même, indépendamment de u, v, w, l'angle de torsion ^ (208c). Si en effet, dans la dernière équation (208a) p. 448, on
I, ,. „: /on« .n ^
P p. 450, on peut transformer cette équation en la suivante
(209.) E^g = VI-U2;
et la troisième équation (207) donne la condition-limite suivante, applicable à l'extrémité de la tige, C désignant le moment de torsion agissant sur cette extrémité :
où à2 a la valeur, variable avec la forme du contour des sections, qui a été définie parla formule (177) du S 48, et déjà par la note du I»..'
:\ 55. — Flexion d'une tige" primitivement courbe.
Méprenons les formules générales. Kirchhoff leur a donné une grande extension, par un artifice permettant de les appliquer, avec de légères
introduit, au lieu de -> l'expression (208 d), — y-, trouvée ci-dessus
