VIBRATIONS TRANSVERSALES

Uni Uni

remplacer siu—r- par -r^ , et il reste, en définitive

un 4jr-sin-p .

L'état vibratoire tout entier est donc représenté par la série :

it =— j—( .— sin -r- sm — sin h\t-\- T sin —r- sin — p sm /.,/ -+-....

Les termes de celle série décroissent manifestement puisque les

nombres kv I;, croissent, d'après leur expression (227./*), comme

les carrés des nombres naturels. Le son fondamental prédomine donc, et les sons harmoniques deviennent de plus en plus faibles à mesure que leur hauteur augmente. Il peut même y avoir un ou plusieurs de ces sons harmoniques qui manquent complètement, ce qui arrive si le point d'ébranlement de la corde coïncide avec le point nodal d'un son, par exemple du riimc son. Alors, d'après la définition des points no-

daux, on a sin -y- = 0; et, en même temps que ce facteur, le terme

correspondant de la série s'annule (*).

Je n'entrerai pas dans l'examen d'autres cas particuliers ; j'ai eu surtout pour but l'exposition 4de la méthode générale qui est développée plus haut. On trouvera, dans Poisson, Traite de mécanique, 2e édition, 1855, tume II, page 568 et suivantes (**), l'étude

(*) Par exemple si h = - , comme sin -y- prend, pour » = 1,2, 3. 4, 5 les valeurs alternatives 1,0, — 1,0,1,0,— 1..., les termes où n est pair manquent, et les autres sont alternativement positifs et négatifs.

(*') Poisson après avoir donné (n° 519, p. 371 de son livre) l'équation

dt* + n dz* ~~ '

qui est celle (222) ci-dessus, réduite dans son second membre au deuxième terme, ajoute qu'il y a, en outre, des équations à satisfaire aux deux extrémités ;:■ — 0, z^=l delà tige. Il observe qu'à cet égard il pourra se présenter six cas différents selon qu'à chacune d'elles la tige sera encastrée, ou simplement appuyée, ou entièrement libre. Comme ces six cas se raitent, contintie-t-il, de la même manière, il en prend un seul; non pas, comme Clebscli, celui de l'appui aux deux bouts, qui se traite, ainsi qu'on voit, avec des séries ne contenant que des sinus circulaires où les paramètres k procèdent simplement dans la proportion des nombres naturels 1, 2, 3 ... , mais le cas plus complexe de liberté aux deux bouts,

où les conditions sont -j-^ — 0, -rzi= 0 pour ;• = 0 et pour ; = /. Ce cas exige que l'inconnue u ait une expression en série de termes affectés à la fois de sinus circulaires et de sinus ou cosinus hyperboliques de multiples de 3 dont les coefficients k ou m sont fournis par les racines, en nombres infinis d'une équation transcendante

cos ml. cos hyp ml = 1.

Ces racines figurent au carré dans les multiples du temps t dont le sinus et le cosinus entrent dans la même expression du déplacement transversal u des points de la tige.

des cas où la tension T disparaît, et il me suffira de renvoyer à cet

ouvrage

C) NOTE FINALE DU g 6 I

De l'Impulsion transversale des Barres élastiques, et de leur vibration avec le corps qui les aura mises en mouvement. Détermination de leur flexion ainsi que des conditions de leur résistance vive ou dynamique.

1. — Vibration* d'une tige produites par l'impulsion d'un corps étranger et sa résistance dite\ive ou dynamique. — Le calcul des mouvements vibratoires des pièces de charpente ou de machines n'intéresse le problème de la stabilité de leur cohésion, ou de ce quo. Thomas Young a appelé leur résilience, et Poncelet, leur résistance vive, qu'autant que ces pièces sont supposées vibrer non pas seules comme le supposent les solutions données par Clebsch, mais unies avec le corps étranger dont l'impulsion, ou brusque, ou graduée, les a fait sortir de leur état d'équilibre ; car c'est pendant cette union, ne durât-elle que le temps d'une demi-période oscillatoire, que les déplacements relatifs des parties de ces pièces atteignent leur maximum et qu'elles courent le plus grand danger de rupture ou d'énervation dont les calculs de résistance ont pour objet de les sauver.

C'est dans cette pensée que Navier, par une habile intégration, a donné une formule des vibrations longitudinales faites par une barre avec un corps pesant qui l'a heurtée à une extrémité, tandis qu'elle est fixée à l'autre (*) ; solution que Poncelet a reproduite en la complétant sur un point (**), et qui intéresse, par exemple, le calcul des dimensions à donner aux tiges de support des ponts suspendus.

Le problème de l'impulsion transversale est d'une importance plus grande

(*) Mémoire sur les ponts suspendus, 1825, n<" 220 — 22(3, papes 148 — 151.

(") Introduction à la mécanique industrielle, 1859, noie dun°522. Une note subséquente, celle du n° 525, n'est relative qu'au cas où le corps heurtant, animé d'une certaine vitesse, viendrait heurter un autre corps étranger, déjà joint à la barre.

Ces solutions sont en série trigonométrique. J'ai reconnu [Compte rendu de la séance de l'Académie du 50 mars I80N, t. LXVI, p. 650) que ce problème de l'impulsion longitudinale peut être exactement, résolu en terme.* finis si on le regarde comme un cas particulier ou extrême de celui du clioc de deux barres élastiques (précédemment traité au Compte rendu. Vi décembre 1860. p. 1108 ou au Journal de Liouville, t. IX, 1807, p. 257 à 570); à savoir le cas où la barre heurtante est d'une section bien plus grande en même temps qu'extrêmement cou île mi extrêmement raide par rapport à la barre heurter.

Pour en tirer des conclusions pouvant modilier celles de Navier, il faudra reprendre la théorie du clioc longitudinal de deux barres en termes finis, présentée et traitée avec détail au mémoire cité de 1800-07, mais en supposant que l'une des deux soit fixée au bout au lieu d'être libre comme l'autre. Ce travail commencé donne lieu de présumer qu'il conlh-