IMPULSION TRANSVERSALE HKS TIGES OU BARRES

et plus générale, car il intéresse l'établissement des poutres de ponts, des planchers de bâtiments, etc.

Je vais donc exposer, en les étendant, les solutions que j'en ai données dans des mémoires dont il n'a encore été publié que de courts extraits. Puis, je donnerai plusieurs considérations ou solutions particulières de cas d'impulsions graduées ou non brusques s'opérant tantôt seules, tantôt simultanément au choc ou immédiatement après, et dont les effets, pour mettre la cohésion en péril, méritent aussi d'être pris en considération.

Dans ces solutions, l'inconnue, qui est le déplacement transversal de chaque point, est généralement exprimée par une série où le temps et l'abscisse se trouvent engagés dans des sinus ou cosinus tant circulaires qu'hyperboliques, et où ils sont multipliés par des nombres que fournissent les racines d'une équation transcendante. Les mouvements résultent donc de la superposition d'un nombre infini de vibrations simples ou pendulaires; et les courbures prises, auxquelles il faut imposer un maximum pour assurer la stabilité de la cohésion, ne peuvent être obtenues que par un calcul tant numérique que graphique d'un certain nombre de termes de ces séries.

Mais lorsqu'il ne s'agit d'avoir que la flèche de flerion dynamique, ou le plus grand des déplacements des points, on peut les poser, généralement, d'une manière presque exacte, et dans des limites très étendues du rapport des masses heurtantes et heurtées, en se bornant au premier terme de la série, susceptible, par un développement facile, d'être mis sous une forme très simple. Or, celte expression simple de la flèche dynamique peut, comme je l'ai reconnu dans une multitude d'exemples, être identiquement obtenu sans poser d'équations différentielles, en s'aidant d'une hypothèse plausible sur les rapports mutuels des déplacements, et en y appliquant, d'une manière tout élémentaire, le théorème des vitesses virtuelles ou celui des pertes brusques de force vive; en sorte que rien n'empêchera d'introduire dans les cours, même industriels, cette méthode que j'appelle de deuxième approximation, tenant suffisamment compte de l'inertie des systèmes heurtés, et d'en substituer l'enseignement général à celui qui y est quelquefois donné, pour deux cas particuliers, de la méthode dans laquelle, en abstrayant tout à fait ou en supposant infiniment petite la masse de ces systèmes, on s'éloigne généralement beaucoup de la réalité et des faits.

Je termine cette Note par une comparaison des résultats, soit des formules

mera, à quelques égards, une remarquable intuition de Thomas Young, qui, en 18(17, (A Course of Lectures on natural Philosophy- and Mecanicë Arts, vol. 1, p. 144) avançait que si un corps heurte longitudinalement une barre, et si la vitesse d'arrivée se trouve. avec la vitesse de propagation du son ou de l'ébranlement suivant sa longueur, dans un rapport plus grand que n'est la proportion de la compression ou de l'extension susceptible d'être supportée sans altération par la matière de la même barre, la rësilience de cette matière sera inévitablement vaincue, et le corps heurtant, quelque petit qu'en soit le volume, brisera la pièce, ou bien il y fera quelque impression permanente altérant sa contexlure au moins d^ns l'endroit soumis au choc.

492 chap. iv. — Ken-; du 2 Ol . — impulsion THA>svtjis\LE.

transcendantes, soit des formules simples nouvelles, avec ceux des expériences de choc des barres, faites par la Commission anglaise de l'emploi des fers, de 1846 à 1849. On jugera sans doute que ce rapprochement confirme d'une manière désirable les formules et méthodes ici présentées. Nous n'en exprimons pas moins le vœu, dans notre conclusion, de plus nombreuses applications numériques des formules transcendantes, et d'expériences nouvelles dont nous indiquons la direction désirable à notre avis.

2. — Équation différentielle indéfinie des mouvements vibratoires transvevsaîix d'une barre dont les sections, et aussi l'élasticité, peuvent varier d'un bout à l'autre, d'une manière même discontinue, et qui se trouve unie avec des masses étrangères dont une ou plusieurs peuvent l'avoir heurtée. — Prenons comme Clebsch, pour axe des z, la ligne supposée droite unissant les centres de gravité des sections de la barre, faites perpendiculairement à cette ligne, l'origine étant à son extrémité de gauche ; et appelons, pour la section transversale appelée o-, dont l'abscisse est z, la barre s'étendant de z = 0äz = a,

u, le déplacement subi au temps t par le centre de gravité de cette section dans le sens transversal x, ou dans le plan de flexion zx supposé comprendre un des deux axes principaux d'inertie des sections cr;

1 ou simplement I, (ce que Clebsch appelle o-).2) le moment d'inertie de a autour de son autre axe principal ;

E^, ou simplement E, le module d'élasticité d'extension des fibres ou éléments longitudinaux qui, tous, sont supposés peu inclinés sur l'axe des z;

p le poids ou - la masse, par unité de longueur, toujours pour l'élément

dont l'abcisse est z, de la barre, et de la matière qui peut lui être unie avec continuité, telle qu'un plancher ou une charge permanente, matière qui contribue à l'inertie du système sans augmenter ordinairement sa résistance élastique ni sa cohésion ;

g la force, de gravité ou autre, qui peut agir, suivant le sens transversal des déplacements u, sur l'unité de la masse - ;

Q, le poids d'un corps censé rigide, d'une longueur très petite dans le sens z, et qui est uni à la barre en un endroit déterminé de sa longueur;

(| / pds-f-Q, le poids total du système ; d{\, son élément;

M(/ ou simplement M, le moment statique, autour de l'axe du moment d'inertie I ou I, tracé sur le plan de a, des forces élastiques ou tensions qui sont exercées à travers cette section, par la matière qui est située au delà de cette même section, c'est-à-dire du côté droit ou des ; positifs ;

F, la résultante, dite effort tranchant, des mêmes forces agissant à travers la section <r, estimées dans le sens de .»• ou de u, qui est tangent à cette section

ÉQU. DES YIBR. TRANS. d'i'N'E BARRE AVEC LE CORPS HEURTANT. Ï!»."i

Considérons l'équilibre de rotation d'une tranche adz de la barre, autour de l'axe, perpendiculaire à c et à x, du moment d'inerlie I de la première des deux sections voisines tt et a =■ o-'-f- da, distantes i'une de l'autre de dz, entre lesquelles cette tranche se trouve comprise. On a, comme on sait (voir ci-dessus)

(a) M==El~.

Il s'exerce à travers la section i', de la part de la matière au-rdelà, un moment égal à celui-ci augmenté de sa différentielle par rapport à z. Il peut être supposé s'exercer autour du même axe que M; mais comme il tend à faire tourner l'élément dans un sens opposé, ils fournissent ensemble un moment résultant

(b) -dz^Ui^

dF L'effort tranchant F -+- dz—- exercé dans le sens der ou de u à travers la dz

section </, produit, avec un bras levier dz, autour du même axe, un moment que nous pouvons réduire à Fdz en négligeant ce qui serait affecté de dzr. En négligeant de même ce qui, dans cet équilibre de rotation, résulterait des forces motrices et d'inerlie pouvant agir transversalement sur la tranche (forces proportionnelles à son volume infiniment petit vdz et ayant des bras de levier moindres que dz), l'équation d'équilibre donne, pour l'expression de l'effort tranchant exercé à travers une section <r par la matière qui est au delà, c'est-à-dire du côté des z positifs,

expression déjà connue pour le cas de El constant (équations (i) de la Note finale du § 29).

Ce premier résultat nous permet de poser l'équation de l'équilibre de translation, dans le sens transversal de x ou u, de la même tranche dont la

masse esl-dz, dont l'inertie est — -dz7— , et qui est sollicitée transver- 9 9 M

salement par la force -g^, outre celles F et — (F -+--%- dz I qui agissent

sur ses deux bases. En égalant à zéro la somme de ces forces prises avec les

signes convenables, on a l'équation

Cette équation, si El=E<xX2 est constant, et si l'on écrit no-, supposé constant aussi, à la place de p, coïncide avec celle (22w2) de Clebsch, § 61,

p. 482, en effaçant, dans celle-ci, son dernier terme qui est très petit du même ordre que des quantités déjà négligées lorsqu'on pose de pareilles équations, et, aussi, le premier terme du second membre, qui n'influe, avons-nous dit, que lorsque la tension longitudinale appelée T est extrêmement considérable par rapport à la force élastique, ainsi qu'il arrive dans les problèmes tels que celui des cordes vibrantes dont nous ne nous occupons pas ici.

Dans ce qui va suivre jusqu'au n° 24 nous réduirons cette équation à

parce que, pour simplifier ces commencements d'exposition, nous négligerons ou abstrairons ces forces g telles que la pesanteur, ce qui est permis en tant qu'approximation lorsque la partie graduelle ou tranquille des impulsions est négligeable devant l'autre. Et il n'y a d'ailleurs aucun effet de ce genre si la barre n'est heurtée (\uhorizontalement.

5. — Équations ou conditions définies, c'est-à-dire à satisfaire pour certaines sections. — Pour les extrémités z = 0, z = a, de la barre, les plus habituelles de ces conditions sont de trois sortes, selon qu'à ces extrétnitôs il y a liberté, appui ou encastrement. On a, d'après les formules (a) et (c),

rA une extrémité libre (ni moment M, ni effort transversal F); El ^— = 0;^-( El =-7

I A une extrémité appuyée (déplacement nul, moment nul) : u == 0 , El — = 0 .

| A une extrémité encastrée (déplacement nul, longitudinalité obligée de la tangente

Pu à la fibre moyenne fléchie) : m = 0 > — = 0;

c ä u conditions dont il faut faire attention que la pre mière El—- r =0 ne peut

<r- U être-remplacée par 7— = 0 que lorsque El est constant (*).

A la jonction de la barre a avec une autre barre à laquelle elle serait soudée, la matière et la section pouvant varier brusquement en passant de l'une à l'autre, mais la direction des éléments de la filtre moyenne et le moment des forces élastiques qui font équilibre aux forces extérieures devant

(') On verra, vers la fin do la présente Note (n° 49, G0, lige à coupe longitudinale para-

bolique) un exemple où 7—^ — <>, sans son multiplicateur I, eût amené une absurdité.

MPDL. RRFSQUE. CONDIT. PARTICULIÈRES DITES DÉFÎMES. 495

être les mêmes de part et d'autre de la section d'assemblage (1^, E,. I, désignant dans la seconde barre ce que sont u, E, I dans la première) :

(f) u - w, . — =-r— , El -d— — E,I, -~ au point s=A-

Enfin, au point de jonction de la barre avec le corps Q ou avec la

masse concentrée - dont nous abstrayons ici la pesanteur, mais où l'inertie 9 "

— - —doit être continuellement en équilibre dynamique avec l'effort ou g (tl 1 j «1

avec les efforts F qu'exerce sur lui transversalement la matière disséminée de la barre qui est au delà ou en deçà selon que ce corps est fixé à sa première ou à sa seconde extrémité ; et avec la matière des deux côtés à la fois s'il est placé intermédiairement (cas où les parties de barre en deçà et au delà doivent être traitées comme deux barres différentes) :

Si le corps Q est à la première extrémité s=0 »- c- 1- ~ l El — 1=0.

g i I- Pz \ i :- '

, , ] S'il est à la deuxième z=a . - 7— - — — ( El (- — ) = 0 . {g) > gdt- l :■ \ d*)

S'il est en un point intermédiaire, ou à la jonction des deux barres soudees,- — 7 — — LI— + — tlll^—: -0, outre les troisconditions(/ï.

(J r I - < ; VZr J oZ\ ■ : - " '

Et il faudra satisfaire, aussi, aux conditions initiales de petits déplacements //, donnés, s'il y a lieu, pour t = 0, et, surtout, de vitesses initiales

— connues, ce qui comprendra, comme on verra, la condition de choc de c t

la barre par le corps Q avec une vitesse donnée.

Avant de présenter d'une manière générale l'intégration de l'équation

indéfinie aux dérivées partielles (d') satisfaisant aux conditions définies [e)

ou (f) et (g), donnons, pour fixer les idées, la solution pour un cas simple.

4. — Solution du problème, pour le cas simple d'une barre prismatique homogène, appugée aux deux extrémités et heurtée transversalement au milieu. — Cette solution est celle que j'ai présentée en 1855-1854 à la Société philomathique, et en 1857 à l'Académie, avec de nombreux calculs numériques et graphiques à l'appui (Voir ci-après n05 52, 35,34).

Soit la la longueur de la barre, ou l'intervalle de ses appuis qu'on peut, avec Euler, supposer être deux styles pénétrant au milieu de son épaisseur et autour desquels elle puisse tourner, en même temps qu'un peu glisser au moyen de petites rainures, afin qu'on puisse abstraire toute résistance à l'extension de son plan moyen fléchi. Soient P son poids, Q celui du corps dur (sphérique si l'on veut) qui l'a heurtée avec une. vitesse V.

D'après ce qu'on a dit au n° 5, les deux moitiés de la barre seraient à

traiter comme deux barres différentes qui se raccordent; et on sait que, même dans les problèmes de flexion purement statique d'une barre 2a sous l'action d'un pareil poids, ses deux parties a se changent en deux courbes et non pas en une seule.

Mais, vu la symétrie, au lieu de considérer deux barres, nous pouvons, ici et dans tout ce qui suivra, ne nous occuper que lïune seule des deux moitiés, celle qui est comprise entre les points c =0 et z = a, en imposant simplement à la tangente en ce dernier point, au lieu d'une condition (f) de raccordement, de rester parallèle à la ligne des appuis, qui est l'axe des ^.

Abstrayons, comme il a été dit à la fin du n° 2, le poids de la barre, ce qui est même rigoureux, ainsi qu'on l'a observé, si, verticale ou horizontale, elle n'est heurtée qu'horizontalement. En faisant pour abréger, vu qu'ici I et E sont constants

en sorte que t représentera an temps (*)," l'équation aux dérivées partielles

P (d'), où on a p = ^-, se réduit à

à intégrer de manière à satisfaire aux conditions définies suivantes dont les deux premières sont tirées de la seconde (e) :

en y ajoutant, comme remplaçant la dernière condition {g) d'équilibre de l'inertie du poids Q avec les efforts tranchants exercés tant en deçà qu'au delà de son point d'union à la barre :

On y satisfait en prenant, Jlo , &, m étant des constantes. Z une fonction de s et de m, et V le signe somme d'un nombre infini de termes ou d'expressions de même forme, ne différant entre elles que par les valeurs de m, Jb, 33 :

(o) w= > Z ( j^ — sin h $ cos — ;

moyennant que Z satisfasse à ce qui résulte de la substitution de chacun de

ces termes dans (/), ainsi que dans (m), (n), savoir :

; ;■/ (p) w*Z a'' 7—^ i pour toutes les valeurs de z ;

(') En effet, a est une longueur, I est le produit de quatre longueurs, V est une force, E est le quotient d'une force par une aire ou par le produit de deux longueurs, enfin g est le quotient d'une vitesse par un temps, ou d'une longueur par le tarré d'un temps.

CHOC OU IMPULSION BRUSQUE. 4î>7

et pour ses valeurs particulières Ü et a, à

(r) (Wz -T -rV-^ï) Il

L'intégrale de l'équation simplement différentielle (/>) est une somme de

quatre exponentielles e"'" multipliées par des coefficients constants. Uï, en

y faisant Z —e"z on a

m ' = a*!) * , u uu n = — . • — , t > ./ i •

'" - — Si l'on convertit en binômes trigono métriques les e ~ " et si l'on

groupe les parties tant réelles qu'imaginaires des coefficients de ces deux exponentielles, de manière que les sinus et cosinus ne soient affectés que de coefficients réels, on a, sih, coli, désignant des sinus et cosinus hyperboliques ^ le — e j , - (e 4- e J , une expression de la forme

... mz . m:- nia , nw

.s) A = Csm |-<-iCOS i-L., sili - C-coïi — ■ •

Pour satisfaire aux trois conditions (7) il faut C, H-C. = 0, — C, + C5 = 0, C cos m — Cj sin m -+- C2 coli m -f- C- sili m = 0, d'où :

C1 = 0f C5=:0, Ca = -^S™.

LUil III

On a, aussi, ^j = <• pour le problème actuel, dans lequel nous supposons [u) t=Q=0} ou qu*aucun déplacement des points de la barre n'a précédé

L'instant t=Q du choc. La seule constante qui reste, C, ou plutôt C m

coli m

se fondra avec J\j pour former un seul coefficient que nous pouvons appeler A, et qui, dans chaque terme, dépendra de m. On a ainsi

. mz ., mz

„, SU1 Slll

> — AZ MU — , ou /.

s> m- t cos m coli m

et où les valeurs du paramètre, m doivent être tirées de ce qui résulte de la substitution de cette expression de Z dans la dernière équation définie (r), qui reste à satisfaire ; c'est-à-dire doivent être tirées de l'équation

, . /sin m sih m\ nP , , , 2P

(m) m ( r— = 2 - , ou lang m — tah m=fi~ ;

v ' eus m coli m/ <J U'»

équation transcendante, dite' caractéristique, que nous avons débarrassée, en

4U8 CKAP. IV. — NUTE DU § 61. — IMPULSION TRANSVERSALE.

la posant, du facteur m3, parce que la racine m = 0 donnerait Z = 0 ou u = 0, solution étrangère à notre objet.

L'intégrale ainsi obtenue ne sera générale qu'autant que le ^j s'étendra aux termes répondant à toutes les racines, en nombre infini, de celte équation (n). Mais si m en est une racine réelle et positive, — m, m\J — 1, — m \J — 1 en sont d'autres qui substituées à m dans

. m-t L sin — =

ne feront que lui attribuer trois autres valeurs égales à celle-ci multipliée par — \,sj — i> — V — ï« On peut réunir les quatre termes du ^ qui leur sont relatifs en ajoutant leurs coefficients ; il est donc permis (comme l'observe Poisson pour d'autres questions) de se contenter, pour la série ^ de u,

des termes résultant des seules racines réelles et positives de l'équation caractéristique, sans que la solution (t) cesse de représenter l'intégrale la plus générale de l'équation aux différences partielles (/), satisfaisant aux conditions définies (m) et (n).

La même circonstance se produira dans toutes les autres solutions ciaprès et nous n'y reviendrons généralement pas.

5. — Détermination, pour le même cas simple, des coefficients A de la série, de manière à satisfaire aîix conditions initiales. — L'expression (t) représente à toute époque t, ou marquée par le temps t, les déplacements

transversaux des points du système comprenant, avec la barre, la masse -,

car les déplacements de cette masse sont ceux du point milieu î = a de la barre.

Supposons d'abord que les vitesses, à l'instant initial, soient une fonction ^ de l'abscisse s, ou qu'on ait :

En y substituant (t) l'on a, comme condition à remplir :

(x) ZAZ = *'(*).

Pour en tirer l'expression de A en m, multiplions les deux membres de cette équation par Z'dq, d(\ étant l'élément du poids (J — P-f-Q du système, et Z' étant la valeur (t) de Z relative à une racine de l'équation (//) qui soit, ou la même (pie celle m, entrant dans le Z tlti premier membre de

(.>■), ou, différente; et intégrons, en représentant par / les intégrales prises

Ja