COEFFICIENTS SATISFAISANT AUX CONDITIONS INITIALES. UM

pour le système entier dont <J est le poids; nous aurons (y) 2À / ZZ'dq= / mz)dq-,

ou, ce qui revient au même, en séparant les parties des intégrales relatives

li la barre P pour laquelle on a les éléments d(\ =—-1 des parties relatives

au poids Q, et en appelant Za, T les valeurs de Z, T pour z = a ,

{Z) -A (2 Ta f. Wd% + V?) = " k f. V" (;) dZ + *.* {a)'

.Nous prouverons plus loin, d'une manière générale, sans avoir besoin d'effectuer des intégrations qui pour des cas plus complexes seraient longues et pénibles, que les j II <h\ ou les parenthèses comme celle du premier membre de (2), ont toujours une valeur nulle lorsque m' et m sont deux racines différentes de l'équation (m). Bornons-nous à le reconnaître ici en voyant d'abord que si on effectue, ce qui n'offre aucune difficulté, l'intégration par rapport à s indiquée dans le premier membre de (i) , en mettant pour Z son expression (t), et pour Z' celle en laquelle elle se change quand on met m' pour m, on trouve

, . /•,-,,, , "<J tan# m' — tah »1 ) — m ° tan«

(«J / ZZ7/: = — 2a — ! — ï -

JO m* — /h'4

m — tah m]

Cette égalité, qui résulte identiquement de la forme de la fonction appelée Z, a lieu quels que soient les nombres m, m'. Mais, en prenant pour ces nombres, supposés différents, deux racines de l'équation transcendante (u), la première et la seconde parenthèse du numérateur de (av) ont les valeurs

tt-,1 77- » en sorte qu'on peut diviser haut et bas par m* — m*, d'où résulte : ym Qm

Wdz=—

D'une autre part si on substitue Z„ = tangm — tahm = - — , 7 =7 — 7,

r a Qmi La Qm

dans la parenthèse du premier membre de [z), il en résulte bien, toujours quand m et m' sont deux racines de (u), différentes l'une de l'autre,

M 2l/oazz^ + QZBz;=/qZz^q=o.

Tous les termes de la série V disparaissent donc du premier membre de l'équation (y), hors celui pour lequel m'— m; et cette équation, dont le

premier membre se réduit ainsi à A I V d(J, donne pour la valeur désirée

du coefficient A qui affecte le terme général de l'expression en série trigo-

nométrique (t) du déplacement u :

(Ci)

Jz^q »5/0> + Wî

6. — il/ème cr/.s simple du n° \. Particularisation des vitesses initiales, et solution complète. — D'après la nature de noire problème de choc transversal, énoncé au nc \, toutes les vitesses initiales de la barre sont nulles, et

V est celle de la masse-, en sorte qu'il faut, dans la valeur (rx) de A, faire

$ (a) = Y et toutes les autres valeurs de $ (z) = 0, d où

QYZ

IHz + QZ^

On a, dans cette même expression, Za = tangm — lahm = ^ d'après

(*) Dans la réalité, à l'instant qui doit être regardé comme vraiment initial, où le centre de gravité de la section heurtée ;=« se trouve avoir acquis la même vitesse, légèrement an-dessous de V, que le corps heurtant, il y a une très petite portion de la barre, s'étendant également, de part et d'autre de son milieu, qui est déjà ébranlée. Mais vu son peu de longueur, Z peut y être regardé comme constant et égal à Z„ ; car, même, la forme -(0

de la fonction Z de ; donne -r = 0 pour : = a, en sorte que la grandeur de Z ne peut y éprouver que des variations du second ordre de petitesse. Le numérateur / Z<//(z)d( | de (ct)

est donc = Z(l I A (:■)«/([• Or, vu qu'aux extrémités de cette petite portion la vitesse est nulle

comme l'est encore celle du reste, les parties de barre restées immobiles sont alors sans action sur elle, en sorte que cette petite portion de barre a dû entrer en partage de la quantité de mouvement du corps Q, comme aurait fait un corps libre; d'où suit que la somme

/ é (;.) — ! de celles qui sont alors possédées par cette petite portion et par le corps Q,

doit être égale à la quantité de mouvement primitive - Y de celui-ci. On a donc, à cela près

de quantités d'ordre supérieur de petitesse et qui sont négligeables (ainsi que je l'ai déjà exprimé le 9 janvier l.SOô, Compte rendu, p.' 43, en réponse à une objection qui m'avait été laite); on a, dis-je, pour le numérateur de (râ) :

ié(z)dn=mai q

absolument comme si le corps Q avait, seul, une vitesse égale à V dans cet instant qui doit être pris pour initial, lit on a relie égalité quelle que soit la loi inconnue qu'exprime *jt(z), suivant laquelle se distribuent les vitesses des centres des sections dans la petite portion ébranlée, depuis le milieu, où la vitesse est celle de Q, jusqu'aux extrémités où elle est nulle.