SOLUTION POUR BARRE APPUYÉE AUX BOUTS, HEURTÉE AT MILIEU

(n). Enfin, soit qu'on calcule directement. '/.- <h par une intégration,

soit qu'on la déduise de l'expression i«,) qu'une intégration a donnée pour

I ZZ'(/c en déterminant la vraie valeur qu'elle prend pour m= mf, par le

procédé ordinaire relatif aux fractions offrant d'abord ^: procédé légitimement employable ici puisque m et m' ne sont encore, dans celte expression (at), que des nombres quelconques susceptibles d'être rapprochés autant qu'on veut, et point encore des racines de [u) dont les valeurs ne varient qu'avec discontinuité de l'une à l'autre; soit, enfin, qu'on se serve d'un procédé que nous indiquerons plus loin pour obtenir sans intégrai ion les valeurs des dénominateurs des expressions telles que (c,) des coefficients des séries, on trouve

/'".,,, « / 1 1 \ 7)d /sin m

/.-dz =

Jq 2 \ cos-/» coli-/»/ Vm \cos>» coli»'

•< . sin»? sib/// „ ,, ,. , . , . , „ ,

d ou, vu — — ; — = Z , l'on déduit pour le dénominateur complet de

cos m cohm n r

(<\) ou (Y/i) :

Jq n oj " 2 \cos-m coli-»/

ILi j QZ2 ; 2 H! fl ' •

et si l'on a égard à l'équation (u), QZr/ = — > on a ce dénominateur :

K) f zw Q = s f— ^— + - z

v 1 / \ pneâ«! nnhSm m fl

2 \cos-»t coli-/» /»

D'on, substituant, et divisant baut et bas par —^— ,

. mz ., mz sm — sili — a a

,.v"i '" Vcosjh cohm/ . /»-/ , . /

m = *1,Zj — ~ n 7 — i s — rs,n — ' ou- = \/

*•+ I sm /» si h m \ i 1 I \ t y

/ + mS \

cos/// coh /«/ \cos-/» coli-/»

et le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs, en nombre infini, de /», racines réelles et positives de l'équation

'sin /» sih /» \ 2P ?»

cos m coh /» / Q

Le mouvement se compose, comme on voit, de la superposition d'une infinité de vibrations simples ou pendulaire*, de|durées|périodiques 2ït— ,

î)02 CHAP. IV. — NOT! nu 3 61. — IMPULSION transversale.

puisque sin — UH-Stt-M = sin-— ; ou de périodes de plus en plus

courtes à mesure que l'on considère celles qui répondent aux valeurs déplus en plus grandes du paramètre m.

Nous renvoyons au n° 52 pour tirer de là diverses conséquences numériques, et au n° 40 pour déduire, des solutions rigoureuses de ce genre, des solutions simples et approchées, qui sont susceptibles d'être obtenues élémentairement, comme on verra aux nos 44 et suivants.

7. — Solution générale, applicable à une barre non prismatique libre ou assujettie, heurtée à un endroit quelconque. — L'équation aux dérivées partielles [d!) est résolue par une expression

(A) «== y. (^sin mH + & c°s m20 z '

où ^ est la somme relative à toutes les valeurs d'un paramètre numérique

.4MB

m, et les fonctions Z de ; et de m assujetties à satisfaire à l'équation suivante, résultant de la substitution, dans(e), de chaque terme des V ,

<*> £(Eii)=™1z-

Supposons que cette équation différentielle du quatrième ordre, résolue soit sous forme finie si on le peut, soit par des séries, ait fourni, Z1? 1,, 1-, Zt désignant quatre fonctions de î et de m, et C1? Cä, C3, Ct, quatre constantes, l'intégrale générale

(/*,) Z = C,Z, + C8Z2 + GSZ3 + C4Z4.

Substituons-la dans les conditions limites ou définies (e) du n° 5, à choisir selon les cas de liberté, d'appui ou d'encastrement des deux extrémités. Nous aurons quatre équations comme celle (Ad) que nous venons d'écrire, excepté qu'il y aura zéro dans les premiers membres, et. dans les seconds, quatre termes où les constantes inconnues C,, C2, Ç-, C4, affecteront des valeurs de ïk, Z2, Z3, l,t ou de leurs dérivées particularisées pour les abscisses z des extrémités de la barre ou tige. Trois de ces quatre équations du premier degré serviront à déterminer Les trois rapports -^» vr, rr de ces incon-

Lj L, L,

nues à l'une d'entre elles. Substituant dans (ä1), la valeur de la fonction Z ne contiendra plus, ainsi, d'arbitraire qu'un seul multiplicateur constant C, qui, par la substitution ultérieure de Z clans l'expression (/',) de //, se trouvera fondu dans les coefficients Jb, 53 des sinus et cosinus des multiples du temps, coefficients restés ainsi les seuls qui soient à déterminer pour le terme général de la série s.

C C C Mais, ces trois mêmes rapports -^, -£, — v étant substitués dans la qua-

Lij L| Uj