BARRE DROHT NON PRISMATIQUE, ASSUJETTIE OU LIBRE
trième des quatre équations du premier degré en Cn C2) C3, C4, qui ont zéro pour un de leurs membres, Ct lui-même disparaîtra, car tous les termes seront divisibles par C^ Il restera l'équation caractéristique en m [analogue à [ii)], que nous appellerons (/,) tf(m)==0,
toujours transcendante ou affectée de sinus tant circulaires qu'hyperboliques, en sorte que ses racines sont en nombre infini.
8. — Relation générale propre à la détermination de* coefficients des sinus et des cosinus des multiple* du temps, de manière à satisfaire aux conditions initiales. — Soient à remplir les conditions initiales de petits déplacements et de vitesses des points du système :
U.) CJ,-.=fW. («),,=♦ w.
<f et -1> étant des fonctions de z compatibles avec les conditions limites ou d'extrémités de barre ou parties de barre (e), {f), (g) du n°5, mais du reste quelconques, continues ou discontinues. Les coefficients jb, $, devront satisfaire à
C/i) Z*Z = ?(*), ZJfeZ = *(*).
Pour les déterminer comme il a été fait au n° 5 pour un cas particulier, multiplions par ZV/CJ, Z' étant la valeur de Z pour une valeur particulière m' de m, et intégrons pour le poids entier q du système; nous avons
U'i) 253 / 7i'dq= f Z'v[z)dq , sJt, / zzv/q = / z^(z)dq.
Nous allons prouver qu'on a toujours / ZZ'dq nul quand il entre dans Z
Jq
et dans Z' deux racines différentes m, m' de l'équation caractéristique (*,)
zS (m) = 0.
A cet effet, supposons d'abord que les sections et la matière de la barre
ne varient que d'une manière graduelle et continue d'un bout à l'autre de sa
longueur a, et qu'elle n'entraîne par conséquent aucun corps étranger Q
dans son mouvement vibratoire. Multiplions par Tdz l'équation différentielle
(</,) ; ajoutons-la à une équation toute semblable où T, m' sont mis pour Z,
m, et multipliée par — lit; puis intégrons de : = 0 à z=a, nous avons
Effectuons par parties, deux fois, l'intégration indiquée par le premier ternie du second membre et désignons par 0, a en indices inférieur et supérieur, l'excès des valeurs pour z = a, sur les valeurs pour z=(), des quantités qui en sont affectées. Ce premier terme sera transformé, comme il est facile
do le vérifier par différent iation, en
[P / 0S7\ 07' p-27~\a fa ")*T rï'l
yK(»w)-K«rë].-/.WHë-
Transformons de la même manière le second terme dn deuxième membre de (kt), et substituons dans ce membre. Les deux intégrales comme celle qui forme le dernier terme de (k') se détruiront, et il restera
il «7 0 L 2*\ '--' dz ®& ®z Hz? Pz\ rz-J], =„
Or les conditions limites (e) du nu 3, si l'on y remplace m par un quelconque des termes de la série donnant sa valeur (f\), comme on a fait pour obtenir (</,) par la substitution de ce terme général dans l'équation indéfinie (d'), donnent
A une extrémité libre ^— = 0 , ,— ( El ^-- ' ] = 0 ,
rZ- (JZ \ dZ'J
\ une extrémité appuyée Z == 0 , 77— =0 ,
A une extrémité encastrée Z = 0 , — = 0 ;
Et des équnlions semblables avec Z' au lieu de Z.
Il en résultera, pour chacune des six combinaisons possibles de conditions ou pareilles ou différentes aux deux extrémités de la barre, que l'un ou l'autre des deux facteurs des termes entre crochets dans le second membre de (/J sera nul soit pour ; = 0, soit pour z = a.
Ce second membre est donc nul.
Il en résulte que si m et m' sont deux racines différentes de l'équation (/,) (.; (m) = 0, propre à fournir toutes les valeurs de ce paramètre, en sorte que m* — m'* ne soit pas nul, on a, en remettant pour pdz l'élément d(.[ du poids CJ de la barre :
(»,) fzzv/q=o.
0. — Preuve que cotte même relation («,) a lieu lorsque, dann le système, il y a discontinuité', à savoir variation brusque de la grandeur ou de Ist forme des sections d'une partie de barre à Vautre, même quand, à leur jonction il y a une masse étrangère vibrant arec elles. — Posons, pour les déplacements transversaux dans ces deux portions envisagées comme deux barres soudées ensemble :
(0,) M=2Z (— 5sinmat-j-Bcosm»n , m, =l'At ( -^sinm2/ + I! cos m*/ ) ,
