CONDITIONS INITIALES. CAS- DF. DISCONTINUITÉ DD SYSTEME

où nous donnons au temps t les mêmes multiplicateurs m- parce que le* diverses parties du système doivent vibrer avec les mêmes périodes (ce dont on se convaincrait bientôt, au besoin, si on laissait d'abord quelconques ces multiplicateurs) ; et nous y donnons les mêmes coefficients A et B, soit aux sinus, soit aux cosinus, afin que la condition nécessaire de jonction {u)-=a= K)3==9 des deux barres se trouve remplie quelque soit t, par exemple quand sin m2f=0 et cos mH=l, ou réciproquement.

En substituant ces expressions (o,) dans la troisième condition définie [g) du n°5 qui est relative à cette sorte de jonction de deux barres, elle donne, en divisant par le binôme trigonômètrique en t, la valeur :

7M-Kv*ë)+K(«Aë)L:

Écrivons une équation semblable avec m', Z', Z'„, 1\ au lieu de m, Z, la, Z, ; ajoutons celle-là c'est-à-dire (ptf multipliée par l'a à celle-ci multipliée par — Z„, et ajoutons y aussi deux équations comme celle (lt), l'une pour l'étendue ; = 0 à z = a de la première barre, l'autre pour celle z=a à s=o+ a, de la seconde. Le premier membre sera, pl étant pour la deuxième barre, ce qu'est p pour la première,

(*a >,i ~ <it \

{ wpds - ôzoz; + z,z|/v/:. ) •

WO <- n

Le second membre auquel cette expression doit être égale sera :

plus quatre quadrillâmes comme les deux qui sont implicitement compris dans le second membre de (/,), savoir deux spécifiés pour le point de jonction : = a, les deux autres pour les extrémités s=0 et ; = a-{-al. Ces deux derniers auront tous leurs termes nuls, quelles que soient les conditions de liberté, appui ou encastrement à ces extrémités de la double barre, d'après ce qu'on a vu, vers la fin du nu précédent 8, pour le second membre de (lf). Quant aux deux quadrinômes qui répondent à la jonction z=a, le premier et le quatrième terme de celui qui est relatif à la première barre seront évidemment détruits par les deux premiers termes de (rj, et les deux autres détruiront, de même le premier et le quatrième terme du quadrinôme relatif à la seconde barre, en vertu de ce que la condition de jonction (f), 11=111, exige, pour être remplie à chaque instant, qu'on ait :

(*i) (Zi)3=„=(Z)3 = a, et de même [Z,l)x==a = (It)x=a .

Quant au deuxième et au troisième terme du premier des quatre quadrinômes additifs, ils seront respectivement détruits par les termes de même rang du second quadrinôme, en vertu de ce que les deux dernières condi-

tions de raccordement (/) relatives aux directions et aux moments, exigent qu'on ait :

« (IL =(£) • (-S) =r«s

= rt \ / î = (I

Tout le second membre de l'équation somme, dont (//t) est le premier membre, « donc ^e'ro pour valeur. La parenthèse trinôme que multiplie

et qui, quand on comprend le corps Q dans le poids total ([ du système, n'est autre chose que :

/' zz'</q ,

est donc = 0 lorsque m et m' sont deux racines différentes de l'équation (i,) fournissant les valeurs de m.

Or, le même raisonnement peut être fait pour un nombre quelconque n de barres a, soudées bout à bout, avec ou sans corps étrangers à leurs jonctions, pour lesquelles on aura posé un pareil nombre d'expressions (ft) de u, ayant toutes la même parenthèse trigonométrique binôme en t; d'où autant d'équations (t/j) donnant, pour les Z, des intégrales comme (/ij à quatre constantes G, entre lesquelles les conditions aux extrémités ou aux points de jonction fournissent An équations du premier degré. Un nombre An — 1 de ces équations servira à déterminer les An — 1 rapports de constantes G à l'une d'entre elles, qui, elle-même, disparaîtra non seulement des expressions de « en se fondant avec les coefficients jb, $, mais encore de la 4»ième équation où on aura substitué les valeurs tirées pour toutes les autres; en sorte que tous les termes seront divisibles par la constante G subsistante. Cette dernière des An équations en m et G ne contiendra donc plus d'inconnue que m. Ge sera la caractéristique (/,) vi (m)=0 propre à fournir les valeurs de ce paramètre numérique, et dont le premier membre se trouvera être nécessairement un déterminant de tous les coefficients des G des An équations.

Dans ce même cas, aussi complexe qu'on veut, le polynôme qui remplacera le trinôme de la parenthèse de (q^ sera, comme celui-ci, l'intégrale

ZZV/(j étendue aux éléments du poids total du système. Donc on a en gé-

néral, les Z et Z' étant relatifs à deux racines m, m' inégales de <•> (m) =0,

(/,) fzi'dq = o.

10. — Conséquence. Expression générale des coefficients à donner aux sinus et aux cosinus des multiples du temps pour salis/aire aux conditions initiales. — Il suit de la relation (tt) qu'en intégrant les équations posés (/') niiilli-