EXPRESS. GÉN. DES EOEFP. DES TERMES TRIGONOMÉTRIQUES

pliées parZVCJ, tout disparaîtra dans les premiers membres excepté le terme pour lequel m est le même que dans le multiplicateur; d'où, pour les coefficients cherchés de l'expression (/',) du déplacement transversal somme ^T d'une infinité de déplacements variant pendulairement :

/ y.o(z),l([ j mz)dq

les éléments d(\ du poids total étant aussi bien ceux des poids concentrés Q que ceux des poids disséminés pour lesquels on a di[=pch [*).

(') M. Boussinesq, dans la première partie d'un remarquable mémoire inséré aux Comptes rendus, 7 et 14 décembre 1874 (pages 1324 et 1407) sous le titre : De deu.i Uns simples de la résistance vive des solides, a donné une équation, et des expressions, de A, I», plus générales que celles (tj) et (w1), car elles s'appliquent aux mouvements vibratoires de corps absolument quelconques, supposés, à volonté, avoir des parties disséminées et déformables, telles que des tiges, et des parties concentrées, telles que les corps rigides Q ci-dessus. A cet effet, dans les trois équations générales d'équilibre dynamique telles que

(a) ~f7 + ~+~-P^ = pîlï> -pJë'

où p est la densité au point (x, y, ;), et où t,.,., t sont six fonctions connues des

dérivées en x, y, z des petits déplacements, u, v, w parallèles aux trois coordonnées, il fait

Iß)

[m, v, w\ = V ß sin lit -f- 1! cos kt\ (l, Y, z)

X, Y, Z, étant fonctions des trois coordonnées x, y, z; ce qui change les équations d'équilibre (a) en celles-ci où les T sont les t dans lesquels on a mis X, Y, Z à la place de x, y, : :

(y) -jx + -j— + -ff + Pk'x x = ° ? +/>Ä*Y = 0; ....+pk*Z=0;

équations simplement différentielles dont celles (/;,), (</,) sont des cas particuliers, et qui sont propres à donner les trois fonctions X, Y, Z si on les intègre de manière à satisfaire aux diverses conditions analogues à (/«j) applicables aux points de la surface du système.

Ensuite, si X', Y', Z', k' sont des valeurs de X, Y, Z, k qui correspondent à une intégrale simple quelconque, et si après avoir ajouté ces trois équations (y) multipliées respectivement par \'pdm, Y'pdm, l'prfm, l'on intègre pour toute l'étendue du système dont le volume total est appelé w, en transformant, par le procédé souvent employé ci-dessus, l'intégrale pour tout ce volume en une intégrale pour sa surface sur les éléments de laquelle il y a des conditions de liberté ou d'assujettissement à remplir (opération dont celle qui a transformé

le second membre de(A,) aétéune particularisation), l'on obtient A2 / (XX'-f-YY'-f-ZZ'Jpf/w

= une fonction, que M. lioussinesq démontre ne pas changer de grandeur quand on change le paramètre k qui entre dans X, Y, Z, en celle k' de ses valeurs qui entre dans X', Y', Z'. Or, continue-t-il, le trinôme XX' -t- YY' -f- ZZ' ne change évidemment pas non plus de grandeur par une pareille permutation; donc si k' est différent de k on doit avoir nécessairement

f (XX' + YY' + ZZ') p dm = 0 :

11. — h' équation en m ne peut pas avoir de racines imaginaire* binômes, et on peut abstraire ses racines imaginaires monômes, ainsi que ses racines negatives. — En effet, d'abord, à chaque racine binôme « -h ê\/ — 1 si l'équation (/,) G) (m)=0 en avait, répondrait sa conjuguée « — S y — 1. En les prenant pour m et m', elles donneraient par substitution, pour Z, Z', des valeurs aussi conjuguées, ou de la forme L -f-- M \/ — 1 , L — M \/ — 1 , d'où ZZ' = L-+M2. Or. ainsi que l'a remarqué l'oisson dans des questions analogues, cela est

impossible d'après la relation générale U') / ZZ'rfCT = 0; car comme les

éléments dfl sont des quantités positives, on aurait zéro pour une somme de

quantités positives.

En second lieu, l'équation en m peut avoir, il est vrai, des racines imaginaires monômes, et, même, toujours à chaque racine réelle positivein, répondront des racines — m, m y/ — 1, — ms/ — 1. Or comme on a vu au au n° 3 sur un exemple, il en résultera des valeurs de u qui groupées quatre à quatre, feront des sommes égales à celle qui répond à m seul, multiplié par un certain coefficient, d'où le même illustre géomètre conclut, comme il a été fait à ce même n° 5, qu'on peut se restreindre aux seules racines réelles et positives sans altérer la généralité de la solution.

15. — Calcul, sans intégrations, du dénominateur I 7r dt\ des formules

donnant les coefficients A, B du sinus et du cosinus de multiples du temps. —

C" L'intégration qu'indique j Tfpdzet que nous avons effectuée au n° 6 pour

un cas simple, devient longue et rebutante dans les cas plus complexes. On l'évite et l'on n'a à faire qu'une différentiation si on se reporte à l'expression suivante (/) du nu 7 où l'intégration se trouve, en quelque sorte, déjà faite :

U < ' i, .,'■'/■ \ vu' m y/.,.j-// „ $ f^z>*i'\ )z=a

g Z'- M — - — LI -., T - Kl — r - / - El — >„ * | dz \ t z-J dz dz- ( z c z- dz\ ( :■- / )Z = Q