TO/3Z
ni = m'
m°-: 3wiaZ
p om
vila
km a
dm'
l — km*
D'où il suit, vu que
sin m sih m
J<1 cos m cohm
m cos- m colr m
que pour tout le système q = P-t-Q se composant des deux parties symétriques de la barre-ayant la longueur «chacune, et du corps 0 qui lui est uni;
1 on a, vu p = — ,
za
a,) fî*dn = 2 f " P l dz + QZaa = ? ( -i
»t coli- m
Cette expression est la même chose que celle (dj) page 501
1 /sin wi sih m v
//i coli- »i //( V cos »t co
^ili m VI :oh »t/ J '
choc d'une barre encastrée AUX DEUX LîOUTS.
que nous avons trouvée au n° 6 par des intégrations; d'où la solution fa), autrement établie, du problème de la brusque impulsion transversale, par un corps Q avec une vitesse V, de la barre d'un poids P et de longueur la, posée sur deux appuis aux extrémités, et dont on suppose ici (n°15) que la pesanteur propre n'entre pas enjeu, non plus que celle du corps Q, ce qui peut être si le choc se fait horizontalement.
14. Notations abréviatives diverses. — Dans ce qui va suivre, nous ferons habituellement, pour abréger
sin »i == s , cos m = c , sih m
coh m = k
duus-Tr = l, k- — /i2=l , — =r. — -= — .s. — = /.\ 7— = /j . ): . Om h m ( m < m
ô~ï?T0U-pj suivant que la barre aura une longueur -la ou une longueur«.
in — = s ,
mz cos — •= c .
mz .
sih — =zh ,
cou — a
\ > etc
io. Autre* exemples de chocs de barres prismatiques. — Barre encastrée aux deux bouts, heurtée au milieu. — Soient 2a sa longueur, P son poids, Q celui du corps qui la heurte transversalement avec une vitesse V; nous aurons, vu la symétrie des deux moitiés, les mêmes équations de (k) à (s) qu'au n° 4 relatif à la barre appuyée, sauf
dans (m) et (q) , (j£) = 0 , {^j = 0 , [au lieu de 0\ = 0 , / ^ \ =o] ■
D'où, entre les quatre coefficients C de l'intégrale (s) G -j- C3 = 0 , C cos m — Cx sin
C, + C5 = 0 , C + C3 = 0 , C cos m — Ct sin m -+- C4 coh m + C3 sih «î = 0;
cos m — coh m
sin m -j- sih m
Ce qui donne, en fondant C(cosm — coh m) avec le Jb de [o] en un coefficient a :
w B=i^an7' ou z==t^r-t-y;
le 2} s'étendant à toutes les racines (il suffit, comme aux nûS 4 et 12, de
celles qui sont réelles et positives) de l'équation en m qu'on obtient en substituant la valeur (e,) de Z dans la condition
reproduite)
Qm*Z„ + P«
512 CHAL'. IV. — NOTE DU g 61. — IMPULSION TRANSVERSALE.
Comme on a, toutes réductions faites,
a(l-cft) /W\ m* dfc+'cfc
Vs> A« ~ (s + A) (c— Jfe) ' V»*« A ' "5 (« + h) (c - *) '
celte équation en m, divisée par/»3 qui donnerait la racine m = 0, étrangère à la question puisqu'elle rendrait (e£) Z nul, est
l> (jytl) m (l — cosracohm)— - (sin?» coli ni + eosmsih m) •
On a, d'après (d^ du n° 6, le coeffieient
A = QVZfl divisé par 2 g- P Z*<& + QZ* ;
1' /'" et on obtiendra sans intégration, comme nous avons dit au n° 15, - Z*«u
en calculant au moyen de différeritiation par rapport à m! les deux termes de la fraction
iiV.\-i"*
v ra "l »*
v ra a Jo
ll'dz = Pas
et faisant ensuite m'=m dans leur quotient.
Or, on aura ainsi, en désignant pour un moment par s', c, h', k' des va leurs de s, c, h, k avec m' au lieu de m,
âj0. (m*-m'*)(C'-A')(S'.+ A')
Le dénominateur, différentié par rapport à m', est
-qui, quand on fait m' = »i, se réduit à —4m5 (c — A) (s-f-Ä). Si l'on différentié de même le numérateur par rapport à m' en regardant m comme constant, et si l'on fait ensuite m' — m, en ayant égard à ce que
— 2 («A — cft) (sä + cA) + 4cä (t — cA) = - 2 (A — c)* ,
l'on obtient, en ajoutant 0//,
4Q ( 1 — chf — — (1 — ck) (>A + ch) :(7+ïpH («+*)»(c— i)*-
iZ*",l'".("Z*";+,JZ«:
