CHOC I) UNE BARRE ENCASTRÉE

Jusqu'à présent, dans celte expression, m est, comme a été ///', un nombre quelconque. Si maintenant on en fait une des racines de l'équation (a.), l'on

3P peut remplacer — — (l— <?*) sk + ch) par — 5Q (1 — r/,)', ce qui réduit

l'expression précédente à

1 /q^PTiP + F

Q(l-cA)2

h)* le — *Ja

QVZ,

sin

D'uù en substituant dans A = 7=r-£> puis dans?/—- V ' \l

flhU\ ~* m'

(*,} jt = VTv^(l-^)(r-/,)(, + /,) £<

ff -«*)' + g (c-*)«

11». Barre de longueur a, eneastre'e à une extrémité cl heurtée transversalement à Vautre. — L'équation différentielle a toujours la forme (/) :

(O T'J T7?- + fll ?TT — °' °" T" = "Fr ( tlouWe du t3 = -^ du n° 4 ) •

Cl 0%* (Jtl \ l'jylj J

Les conditions sont

""•-=»• (EL.-- (&)...=•■ ['S+ÏÊL.-*

qui donnent, en faisant encore « = V. X — Zsin — ,

(/";) m*l=a*^ partout, et Zo=0,(^-J =0,(^-J =0,(Q/«*Z 4- l'a3~) = 0

d'où une solution

. W2 mz ., /«:• . »/;■ coli cos- — sili sin —

(;.,) /i=V — A/sin — . ou/

t coli m 4- cos m sili m 4- sin m

Et, comme on a ainsi

2 (sk — ch) /9*Z\ m? — 2 + 2dfc

la dernière des conditions (/",), la seule non employée pour la construction de l'expression de Z, donne, en l'y substituant, l'équation en m

,.,, sin m coli m — cos m sili m Y

(l ) Ul ; ; - ,

1 4- cos m cuti m M

QVZ

Le dénominateur du coeflicient A.= - s'obtiendra en opé-

M^h + QZ;

rant comme nous avons fait pour la barre encastrée aux deux bouts; nous aurons ainsi

Jqz^q=«Jo »+^=(TFi?+ (c-mh« + »ï :

expression qui, au moyen de l'équation (jt) en m, peut être réduite à

Jq CJ >+*)a + (« + *)»(* + *)»■

En sorte qu'on a pour la solution :

= ^ (St-,v,)(>- + /0,i/.) z sin «1? .

(,/, .r//)9.f i.(,.| fc)«

17. Havre appuyée aux deux extrémité* et heurtée ailleurs qu'au milieu. — Ce problème offre un exemple du cas où la barre doit être regardée comme composée de deux autres qui se raccordent au point recevant le eboc. Je l'ai résolu de la manière suivante en 1805 (Compte rendu, 3 juillet, p. 55, troisième complément, etc.).

Soient b et bi les longueurs des deux parties que sépare le point heurté, dans cette barre prismatique appuyée aux deux extrémités et ayant une longueur <2a=b-+-bi, avec un poids P; Q étant celui du corps qui vient la heurter transversalement avec une vitesse V, à l'époque t==Q.

Soient u et u^, au bout d'un temps quelconque l, les déplacements transversaux très petits de points ayant des abscisses z et sx, comptées respectivement à partir des deux appuis, et par conséquent eii sens opposés. On aura, pour les deux parties b, /;, :

à intégrer pour les conditions d'extrémité et de raccordement suivantes, vu que El est le même pour les deux parties :

-i ' ïj ii {m.

oZ i / , /, \ f z

Enfin, toujours au point de raccordement :• -h, ou doit avoir pour l'équi-

CHOC D UNE il AK RE A INEGALES DISTANCES DE SES APPUIS. • > 1 •>

libre [{g) du u° oJ entre l'inertie, à l'époque /, du poids Q ayant Frappé un élément de barre mi-partie dans les deux portions b, b{ , et les réactions opposées par leur matière, en deçà et au delà, aux efforts tranchants mis continuellement en jeu par le mouvement de ce corps avec la barre.

(J C l'l Q i lUx ' "'// £ r7/,

condition pouvant être écrite, en multipliant par — \

2QË1

, ' '-'i ., '<- 'II, Vir i r'ui < 'Ui, | ,

K) -'- .ß^'JF :TqW ; nfj,,ü"1': fr'0U3' '''•

Les équations (l,) seront résolues par des expressions u ou //1^=2(Z ou

/[) sin — , / et /, étant des expressions Irigonometriques quadrinomes en i

et s, connue celle (/*,) du n° 7. Sans donner le détail de la détermination

facile des rapports de sept de leurs huit coefficients constants Clt Câ au

huitième, on peut reconnaître que les équations (/,) et les conditions (m,) seront satisfaites en prenant

. mb, . mz ., mb, ., mz sin sin — siti sih —

>t - . .. . /// -/ . ., a a a a , 'j —s -\L sin — } n /.= — : -. ; ;

•*-- mr - sin m cos m sin m coli m

. mb . mz. .. mb ., mz, sin — sin — sili — sili — v^ ~ , -, m-t . ., a a a a «, = 7j— ; A/, Slll , SI /., -- — : -. i

J~*m- - sinmcosm sihmconm

En effet, elles satisfont évidemment, outre les deux équations {!,), les conditions (ra2) 1, 2, .", \, 5, 7: et, quant à la sixième qui donne

{'--'■) 4- I r— M ==0, elle revient, divisée par —, vu la formule connue du V' V6 V V,,, r «

sinus circulaire d'une somme et la formule toute semblable pour son sinus

. (mb mb,\ ., (mb mb.\ sin \- — ) sih 1 M

hyperbolique, a —^ rp : L= 0, qui est une identité

Jr * sinracosm sinmeolun

vu que, & + &! étant égal à 2a, chacun des deux termes est égal à 2.

Et. quant à la condition <»,), elle sera satisfaite si les m sont pris tels

qu'on ait

équation où le binôme entre crochets, étant développé, se réduit à

multiplié par la somme des deux mêmes quotients que nous venons de trouver égaux chacun à 2. En sorte qu'on a, pour déterminer les valeurs

de m, l'équation transcendante

/ . mb . mb, ., mb ., mb.\

an I sin s,n Slh Slll -\

('/a) m''i, =>"'-il. = "77 ' OU /» \ : - : I = — ;

w " "' Q \ smmcosm sihmcohni / (j

que l'on a débarrassée du facteur m", car la racine //; = 0 donnerait

— ; ; sin — = t, et par conséquent un tonne de la forme Gt, ne pouvant

exister dans les solutions de problèmes de barres qui soient assujetties de manière à rester immobiles si elles étaient rigides (Voy. n0" IN à 25). On peut remarquer aussi que cette équation (qt), lorsque b = bl = a, se

confond avec celle (u) m (tang m — tah m)= j- du n° i.

Reste à déterminer le coefficient A. Sa valeur sera celle (ct) du n° 5 ou

(ttj) du n° 0, A= — ,y, . applicable à un système quelconque, d un poids

total ([, de barres jointives et de corps étrangers Q qu'elles entraînent dans

leur mouvement; ce qui reviendra ici, la vitesse initiale -J/ étant V pour le poids Q et = 0 pour la barre, à

où llb pourrait être mis pour ï(), puisqu'ils sont égaux d'après les (o2).

La parenthèse du dénominateur peut être calculée par deux intégrations. On les évite en se servant de l'expression suivante obtenue comme il a été dit au n° 12, et où les accents désignent ce que deviennent, pour m' mis à la place de m, les quantités non accentuées:

ou, vu que nous avons trouvé que les termes des binômes différentiels entre

crochets, comme celui de (/>.>), ont, en effectuant les triples différentialions,

. Arn7' 4m'3

pour valeurs — , — ,

p / /''' fbt \ — myL'k + m'5î.

v - l2n \Jo Jo ' l '/ m* — m'*

d'où, en faisant m' =m après avoir différentié le numérateur et le dénominateur par rapport à m',