V /M. 3ZA

(HOC d'üNE n\RRF. A INÉGALES DISTANCES DE SES APPUFS. M 7

Or on a, d'après (o*),

mb . >nl>, ., mb ., /;(/).

sin — sin — si h — si li —

' -' " J*i sin m cos m sihmcohm '

Si, vu b-\-bl=i2a, l'on remplace les dénominateurs respectivement par

5 sin 2m = 5 sin " . - sih 2»< = 5 sih ( : .

et si l'on développe; ces deux sinus de sommes, on obtient, en substituant dans (i;,) et divisant par les numérateurs, l'expression

' s 'b~ ', mb , , mb, mb mb,

cot h cot coth l. cotli

qu'il s'agit de différentiel1 pour obtenu*—-*. La différentialion, vu qu'on a,

cm

en général, (- cot ,t = -t-t-' s- coth .r = -rr— - , donnera facilement t x sin-./- î /• sin1'-

, . a mfr , . . mb. . .. . mb . .. , mb,

f)7 li. sin- 'r b sin- — i />, sih- r '' sib

. f 72 J » rt » 'j t.

■ - f'//( ~ 2« sin'- m eoss m 2a sih- m cohs m

Cotte valeur de ^ étant une fois obtenue, nous pouvons maintenant trai-

ter m comme une racine de l'équation (</,) donnant Z. =^-=— • Si l'on met

mäQs

3P ,"(pî

ternie—; — ZÄ= — , une réduction semblable à celles que nous avons

déjà eues aux nos 6, 14 et 15, et nous avons définitivement la solution très simple

cette valeur de Zb dans (»2), il s'y opère, entre le terme 0/^ = 0 — ^y-^ et lé

.. . m'-l r I. sin

u = \- ^j — -^r- ; », = la même chose avec Z, au lieu de Z;

fc j

oùZ, Z. et s — ont les valeurs données par (o„) et • //.. i. ' * dm y \ . j.

Nous y reviendrons au nu 19 en donnant les expressions approchées des flèches de courbure, etc., résultant du premier terme des ^ développés. Remarquons seulement ici que cette expression (a,) se ramène à celle \e{) de la fin du n° 6 du cas de heurt au milieu, en faisant b = bL = a.

518 CHAP. IV. — KOTE DU § 6J . — [MPULSIOH TRAMSVERSALE.

18. — Barre libre ou pivotante. — Termes algébriques à ajouter à la somme y de ferme* transcendants et périodiques. — Ce n'est pas seulement par des expressions transcendantes en c et t telles que les séries cidessus, que l'équation différentielle générale (<1) ou [d') du quatrième ordre des mouvements transversaux v d'une barre élastique peut être résolue.

Ces séries V suffisent lorsque la barre est, ou posée sur deux points

fixes, ou encastrée quelque part, de manière, à assurer son immobilité si elle était rif/ide: car son élasticité, si on la lui restitue, lui fera prendre seulement des mouvements vibratoires que les termes transcendants représentent.

Mais lorsque la barre est libre, ou lorsqu'elle n'a qu'un point fixe autour

duquel elle puisse librement pivoter, la solution devra offrir, hors du y?

des termes algébriques.

Celte partie algébrique pourra être tirée, quelquefois, de la série trigo-

nométrique V ; ce sera alors son terme répondant à la racine m = 0 de

l'équation transcendante fournissant les valeurs en nombre infini de ce paramètre m ou m; et cette partie exceptionnelle représentera, en quelque sorte, une première vibration dont la période serait infinie.

Mais. Comme nous allons voir, il n'en sera pas toujours ainsi, il n'y a point de raison, en effet, pour qu'une expression de forme périodique puisse fournir la valeur convenable d'un terme qui ne l'est pas; et d'ailleurs, ce passage du fini à l'infini est toujours délicat et sujet à erreur.

Il conviendra donc de calculer séparément ces termes algébriques, au moyen des conditions d'équilibre dynamique de translation et de rotation du système, considéré comme de forme invariable, c'est-à-dire en posant, pour ce système supposé rigide, les équations de conservation des quantités de mouvement et des aires et en en tirant les valeurs des déplacements u, supposés rester très petits ainsi que le temps t. pendant lequel ils s'opèrent (car ce ne sont que de très petits déplacements qu'on se propose de déterminer dans celte analyse).

Ensuite, la partie vibratoire, exprimée par la série ^ sera déterminée

séparément aussi; car, comme on va le voir, son paramètre m ou ni, et les coefficients A, !! des sinus et cosinus des multiples des temps qui y

entrent, seront les mêmes que si la partie entière, ou en dehors du ^ » n'existait pas.

Ce n'est pas, du reste, dans les seuls cas de liberté complète et de libre pivotement qu'il faudra dss termes algébriques à l'expression de //. Il y en aura encore lorsqu'il se joindra, aux impulsions brusques, des impulsions graduelles telles que celles qu'imprime la pesanteur pendant le mouvement de déformation; mais nous verrons que ces termes, pouvant alors contenir l'abscisse ; à des degrés supérieurs au premier, seront en z seul, au lieu d'elle en ; et /.

choc d'une barbe libre ou pivotante. 519

19. — Barre prismatique libre heurtée transversalement à ses deux extrémités. — Soient a sa longueur, 1' sou poids, 7 et Q les poids qui la heurtent avec des vitesses /' et V à ses extrémités z=-0, s = a, dans des directions parallèles entre elles cl à un des deux axes principaux d'inertie de toutes les sections; el soient

(rf5) -rrr = x- , q -f- P -f Q= (f , poids du système.

On intégrera [les indices 0 et a représentant toujours (n" I i) des particularisations pour s=0, : = a\:

fe)

/*vv i^/^\ =0 î9/JM P£T/^

\ el pour: (u)( __ A = 0, ( jrr ) v 1 c i . y étant une fonction qui est

= v pour 2 = 0, = V pour :• = a; et : Il pour toute autre valeur de s.

Prenons pour l'inconnue 11, une expression comme la suivante où C,C, m, A et la fonction Z de :■ et de m aient les valeurs convenables,

Déterminons d'abord C et C de manière que la partie IC-f-G'-J / satisfasse à l'égalité, avant et après le choc, soit de la somme des quantités de mouvement, soit de la somme de leurs moments ou aires autour de l'origine

;. — 0, nous aurons

d'où résulte, en tirant G, C et substituant :

3 V '«' P ' , , ll + ry , nq

En second lieu, substituons [b.) à 11 dans les cinq premières équations à satisfaire ('/'-). Le terme algébrique IC-j-C/-.) t, ou (d^,riy fournira rien,

en sorte qu'on aura, comme xi ce terme n'existait pas, pour déterminer la fonctioM Z,

Si en résolvant, comme dans les deux questions précédentes, l'équation (e.) on Z par la somme de quatre produits des driix sinus et des deux cosinus Je —par des constantes, l'on détermine les rapports de trois de cellesci r ci à la quatrième au moyen des trois premières conditions (/',), on trouve, avec les notations (é78) du n° 14,

((h) 7. = (k - c) (l,z + «J - (// - s) (k . + c:) + -J- (A9 + lis) ;

m avant pour valeurs toutes les racines de l'équation transcendante qui suit, résultant de la substitution de (g.) pour Z dans la quatrième et dernière condition (/'.) ; équation, dont il suffira pour les mêmes raisons qu'au n" 11, de prendre les racines réelles et positives ; et qui a été débarrassée du facteur m3 donnant la racine m = 0 que nous excluons de la série :

(ft5) 1 - ck + m ^ti (,/, ci,) + 2 !t m*sh = 0 .

Reste à déterminer les coefficients A sous le y de manière à satisfaire aux deux conditions initiales («".). La première, (u), =o=0 est déjà remplie par cela seul que la partie algébrique est affectée de t, et que nous

n'avons point mis, sous le ^£» de terme en cos — - • La seconde de ces deux

conditions (a",) le sera si les A sont tels qu'on ait

Multiplions cette équation par '/.<!([ et intégrons pour la totalité du poids i\ du système. On a d'abord

C P C" C s P Ca :

t'q " ' ° " a ,/it J,j « x " " i/o a

»•t. en tenant compte des relations suivantes entre les sinus et cosinus lanl