CHOC, A PES DEUX EXTRÉMITÉS, D'UNE BARRE LIBRE. ,V2 I

circulaires qu'hyperboliques :

- ! s dz= >- I caz=^>- ! h (lz= ,- h (h —

(/t'o : m njn : m ajo s m a Jd ; j«

/'" :• , * — me 1 /*" ; , ms + c — i I /'" , :• , »#& — A

I \ -dz = — • / <■ - il:- ----- -, . - / /< -dz = r—

/ ii •" a m- a Ja -ii m- a J o : '< wr

C9 + .s-' = 1 , frä — ft* = 1 ,

on trouve, en effectuant les calculs :

f | ' Zr/q = 2 ^ (1 - dfc) + 2 (0 + 7) [sk - Ch) + ^ msll ,

I I Z - rfn la même chose;

quantités nulles puisqu'elles ne sont que le produit, par — , du premier

membre de l'équation caractéristique (//.-) à second membre nul, donnant toutes les valeurs du paramètre m qui sont différentes de zéro. On a donc

(h) f U+'c>i)uq=o. n

(*) Celte propriété des fonctions " de l'abscisse :■ appelées Z, de donner / Ze?(T = 0,

/ Zsrf(T = 0 n'est qu'une conséquence obligée des théorèmes généraux de conservation de>

quantités de mouvement et d'aire, dont les équations d'équilibre dynamique (es) et (/3) ne sont, par le fait, que des applications.

En effet, si l'on appelle u? la série S de l'expression (&-) de u, et que pour plus de généralité nous écrirons

VzfA^sin^-' + Beos^i)"

celte somme u' de termes tous périodiques est la partie vibratoire de », déterminée par les actions moléculaires et réciproques. Comme ces actions sont égales et directement oppo-

sées deux à deux, et ont leurs composantes transversales égales aux produits — ' ->^p» on

g < cdoit avoir, en vertu des deux principes cités de mécanique, en différentiant deux fois ?<' par rapport à t et en faisant la somme / pour tous les éléments d(\ du système :

(i\2j L \ ~ V ~ Sl" "~ l; Tï cos ~7" ) = °'

/ da V Z: ( — V — sin — D -? co* — - 1=0.

Or les vibrations simples ou pendulaires, dont la superposition constitue chaque déplacement, sont indépendantes, comme on sait, les unes des autres : chacune d'elles est due,

ein dq £>* u'

pour chaque élément — - de masse, à la partie des forces réciproques — - -c-^ relative à un

des termes de la série, ou à une valeur particulière du paramètre m. Les deux équations qu'on vient d'écrire auront donc lieu encore si on ôte le -igné S, on si on los applique à

Il s'ensuit que la partie algébrique lC-r-C'-]/ de u est comme non

avenue dans cette opération ayant pour objet la détermination des coeffirienls A de la série, et qu'on a, comme aux n,p> o et 9,

f mddq ?wz0h qvz

fwq ^+-(bï + ;J^pa

l'un quelconque des termes des séries qu'il représente. Alors, on pont diviser ces équations par le binôme trigonométrique, et il reste

/qz<zq=b, /qzwq=o,

ou ce qu'il fallait démontrer,

Mais il convient de confirmer Autrement ce théorème utile et de montrer qu'il s'applique généralement à tout système de barres et de corps vibrant avec elles.

Tour cela reportons-nous à la sous-note du n° 10, page 507, où l'on a considéré avec M. Ooussinesq, suivant ses trois dimensions, un système vibrant quelconque C[ = pçu>, composé, ainsi qu'il l'exprime, do parties élastiques disséminées, comme nos barres P, et de parties concentrées, comme nos corps heurtants Q. Appelons toujours x, y, z les coordonnées primitives ou de repos, d'un élément ou une molécule rf(\, mais xv tjt, z^ celles du point de l'espace qu'aurait occupé <IÇ\ au bout d'un petit temps t si le système avait été rendu rigide au moment du choc qui s'y est opéré; enfin x{ 4- u, y{ -f- v, :x + w les coordonnées réelles ou effectives, à ce même temps t, du même élément <!Ql du système élastique qui a été ébranlé ou modifié par ce choc.

En vertu des théorèmes des quantités de mouvement et des aires, appliqués à ce système soit entièrement libre, soit librement pivotant autour d'un point ou d'un axe fixe, ou en vertu, ce qui revient au même, de la destruction deux à deux des actions mutuelles de ses points, les six sommes

seront et resteront égales à six constantes, représentant les trois composantes totales des quantités initiales de mouvement, et leurs trois moments de rotation autour des axes fixes des .»', y, :-. Et l'on aura aussi l'égalité, respectivement aux six mêmes constantes, des trois sommes

jq d{ 1 1 — TT— > — TT- ' —TT- \

et de trois autres dont la première est

Retranchant, des six nouvelles égalités qui en résultent, les six premières posées, où no figurent que les a?lf //,, ;,, sans les u, v, w, les six constantes disparaissent, et on a 1 ■• les trois équations

2" t rois autres équations dont la première est

Comme u, v, i<- représentent évidemment les déplacements de pure déformai ion locale et vibratoire des petites parties dans lesquelles le système peut être conçu divisé, l'on peut, de

i .H'ti: nV.\i: rarre libre. 523

valeur qui substituée, ainsi que celle (gs) de Z et celle \<l.j de (Ch-C - ) i

dans l'expression (/;.) de u, donnera la solution complète du problème des petits déplacements //, à parties tant périodiques que non périodiques, des divers points de la barre heurtée par les deux corps q et Q.

ces équations (ß), retrancher, comme petits du second ordre, les binômes tels que \v-cfi. — "' —. ) contenant des produits des w, v, to, par leurs dérivées. Or. on pourra

effacer de la même manière les binômes tels que v V-1 — u> ~ • En effet (comme l'a fait

remarquer le même auteur), dans les problèmes de résistance vive dont la solution dépend

de la recherche des déplacements élastiques, les vitesses d'ensemble ou de translation et de

ax ■ àUt &z m . ,

rotation, . , . -/, , -?- - ne sont transmises, a partir des points qui se sont heurtés, que de

pioche en proche par l'effet des mêmes forces élastiques mises enjeu, que les vitesses rela-

'' " ' >' ' "' ,, tives ou vibratoires — • — , — "• elles ne sont donc pas d'un ordre de grandeur supérieur

à celles ci, engendrées par les mêmes causes ou actions mutuelles, au moins tant que les forces élastiques restent exprimables linéairement, ou que les limites de l'élasticité (comme

on dit) ne sont point dépassées. Les produits tels que v /' , ou leurs différences deux à

deux, sont donc négligeables au même titre que les produits tels que v '-, - , ou leurs dilfé-

( t rences. Donc comme ./,, î/j, ij sont toujours supposés ne différer que très peu de .r, y, :, on peut écrire, au lieu des (S),

Li'w-^y^fM-^^fM-^)^-

Ceci posé, il a été montré, à la sous-note citée du n° 10, p. 507, que, des équations générales

d'équilibre dynamique d'un système quelconque, telles que —r — H — ~ +-ëj— = p as ,

l'on pouvait déduire des valeurs des déplacements relatifs ou vibratoires u, v, w, comptés à

partir des situations de repos, en y faisant

«, v, w = 2 Mrsinfa-f- B cos AM ( X, Y, Z

où X, Y, Z,sont des fonctions des coordonnées x, ;/, -• et du paramètre k (le m2 ou -- des

problèmes des barres) dont les valeurs, en nombre infini, répondant, chacune, à un des systèmes d'intégrales simples, ou à un des termes de la série S, sont les racines de l'équation qui résulte de l'élimination des constantes d'intégration entre les équations de condition à remplir aux limites ou aux jonctions des diverses parties.

ctrr (-»

Or il est facile de se convaincre qu'on aura les mêmes équations -r— -f- = r. -r-r,.-- .

et. par suite les mêmes expressions (S) lorsque, comme dans le cas actuel, les «, v, tv sont comptés à partir des points (xt, ;/,, :-,) où se sont transportées les situations moyennes des points [x, y, :•) du système libre ; car on a, pour les différences xt — x, i/, — yt ;., — :■ représentant des déplacements d'ensemble, c'est-à-dire des translations et des rotations, trois expressions telles que celles (50) a -+- -/y — ß:, b + «: — yxt r + ßz — Ky, du § 21 , page 134. Or les six petites fonctions du temps a, b, c. a, ß. y ne donnent évidemment rien dans les expressions des six déformations élémentaires <>(., g ri/ dont dépendent les tensions

/..., /,.,.: et elles ne donneront rien non plus dans les ^s »car il est facile de

124 I HAT. IV. ISOTE OU $ 6! . — IMPULSION TnANSVF.RSAI.F..

20. — Suite. Valeur du dénominateur i V*à f[ des coefficients A , fonctions

du paramètre m. — Il faut, pour obtenir cette valeur, calculer / ' l*dz.

On le fera sans intégration, comme nous avons déjà eu occasion de le dire,

en prenant l'équation (/,) du n° S, page 504, qui, pour El constant = — -,

V , m1 p aussi constant = -, m2=— , et en supprimant du second membre les 2e

et 5e termes entre accolades vu (f.) -y-^ nul aux deux limites 0 et a, devient :

\ r.ndz = — - — - ( v-L — z — - )

,/d mA — m* \ c'a3 f v J

dont la vraie valeur, pour >n = m', obtenue en différentiant le numérateur et le dénominateur par rapport à m' et faisant ensuite m' =m, est

I Z^/, = — — ,U-fl U- -':— — -<r ■( — ) + ''«,- — . ,'(i — 4ma \dm \pz»)a c>m\ßzi/a cm\oz-°/t\ &m\§za/Qj

En développant le calcul et en se servant du résultat pour composer la

voir que les équations dont'on lire les valeurs de ces six fonctions du temps seront satisfaites

par 1 egahte a zéro de leurs six dérivées ;— ; ! — — » comme il arrive pour la parlie

algébrique (il-) de notre solution du a." 10.

On peut donc (ce qui e?l du reste en harmonie avec un théorème démontré par Clebsch au § 14, page 53) prendre, dans le cas actuel, pour u, v, w, les mêmes expressions (S) que lorsqu'ils sont comptés à partir de l'état de repos.

Or, comme les équations (a), (ß) s'appliquent à tout mouvement possible, elles doivent être vériliées par chaque système d'intégrales simples dont l'ensemble forme la série S. Substituons donc ces expressions (o), sans le signe 2, dans celles (a) et (y). Il en résulte, en divisant tout par le binôme (A cos lit — li/i sin ht), les six suivantes : . J

- (c) / ( \,\, 7, ,//.- :\, :X-.rZ, ,rY — i/X Wl = 0.

/ (x, Y, Z, ,//. - sY, :X — :rZ, xY — ij\ ) r/(|

Files offrent, dans toute leur généralité, ce qui était à démontrer, ou ce dont les égalités ij'-\

l Ztf(T=0, / Z3«/(T=0} offrent des particularisations pour la barre libre dont le mouvement est le sujet de notre n." lu.

On peut donc, dans les problèmes de mouvement des barres ou tiges élastiques libres ou pivotanles autour de points ou d'axes fixes, établir séparément la partie algébrique ou de solidification, et la partie transcendante ou vibratoire, de leur mouvement. Et même on peut généralement, ce qui est encore mieux, ne s'occuper que de celle-ci, qui seule intéresse le problème de la résistance de la matière, sans craindre que la non-prise en considération de celle-là soit une raiisr d'erreur.

BAHRE LIBRE H3URTÊE. COEFFiqiENTd DES S0ltlK<. 525

valeur de / Z*t/q = l Z2ffe -+- g Z*-f-QZ*, on trouve

(«») J &dq= P [£ (si- ch)(\-ck) + (h -*)*] + ?[12«A(1 -cA)+4(A-*)H-

+ 2w (Ä - e) (A — s) | + '-Ç- [C»nsh {sk — eÄ) + 2m9 (A9 — s'4)] + 4Q ( sä — ch + ^ s/t ) '.

Tel esl le dénominateur de la valeur (I.) du coefficient A. Son numérateur est

(n5) [' /^(:.),/q = y,Z(i + OVZ(/ = -2(/(-s)^ + »( •*-<* + ^r*A ) QV.

Substituant dans (/.), puis, avec (^s) Z, dans le V faisant la seconde partie

de (b.) dont la première partie est donnée par (à\), (C-\-C't), on a la composition complète de la valeur, à un instant t quelconque, du déplacement de tout point de la barre libre (ou suspendue par un bout à un long lil) et heurtée aux deux bouts. La seconde partie seule, la partie vibratoire, intéresse la résistance de la matière de la barre à de pareils cbocs.

21. — Ca* particuliers du problème de la barre libre du n" lî*. Observalions sur les conséquences théoriques de sa solution ci-dessus. — Nous ne développerons cette solution que pour deux cas particuliers dont l'un (le second) celui de la barre pivotante, a un intérêt pratique réel, mais qui tous deux fournissent des conséquences théoriques à remarquer, pouvant se présenter dans divers autres cas et les éclairer.

1" cas. — Barre libre heurtée à un seul bout. — La solution en sera obtenue simplement en faisant dans les formules (</.), (h.), (d.), (mâ), (b.),

q = 0, d'où :

(0.) 1 = {k — c) (hz + sj - [h — s) (* + cg) .

]> (p.) Equation eu m : m (sin m coli m — cos m sili m) + -r(l — cos*» coli ;/()=0;