i . ( sk — ch ) I. sin
avec
i j' ZVq = ï (sä - chf- + ?- [(// - s)9 + ^ (sî - cft) (I - et)].
Celte valeur du dénominateur - 1 T d ([ peut être très simplifiée si
j) pour — (1 — ck) on met sa valeur — (sk — ch) tirée de l'équation (ps) en Qui
r»2G GHAP. IV. — NOTE DU j/ G I . — IMI'I I.SK». TRANSVERSALE.
m ; ce qui donne
r- S A III- >H~l
.1 - - 1 (s« — cft) /. sm —
u-^l-ï—rrM + ïS- Y
4 + q (rf <*)!+ -(*,)«
2e cas. — Butte heurtée à un bout et pivotant autour de Vautre où on la suppose traversée par une goupille lixe. — On obtient la solution y relative en taisant clans les (<(-), (g-), (h-), (m-), (w.),
v = 0 ; puis, // = y-; d'où :
Équation en m, obtenue eu divisant celle (A3) par p et taisant- n. '** ' , n Q , cos /// coli /// , IJ
Sit — Cfl + 2»< = .S'/l = 0 , OU - r. = "2)11 - :
P £in /// sili /// V
et on a la valeur de n en divisant haut et bas par q la partie algébrique (d.)
7«Z0'+QVZ /• de(&3), et par «/Reproduit de {g.yi par (/) A = : I Z^/CT étant fourni
par (ms); puis taisant ?' = U, - =11,— = 0. On a ainsi i v i q q-
— r -r ' sm " i , , .11 v^ ' \ s n
Le second ternie du dénominateur se simplifie en y mettant pour le binôme entre parenthèse sa valeur — ., " tirée de l'équation (s5) en ///, d'où
. tut ., mi
sm — Slll —
it a
w »= -^-DVf+2VTS^
sin »i sih /// m -7 siu
5(J 2(J \siii2//i sih2///
22. — Particularités curieuses. Calcul de ce qui est obtenu si /'<>» suppose la partie transcendante Y applicable à la racine m — 0 dnni on a dégagé les équations en m, (//-),(//.), (s.). — Ona ce premier. terme du V ea supposant d abord <pie m est seulement très petit et mettant pour ses sinus et cosinus
BARRE Ub. PARTICULARITÉS SI li LES DEUX PART. DE LA SOLÖT.
leurs développements
.s ) nt~ , nr m~
C ) m- tu'' m1'
et A i +T+ 24-"H72Ô"+
elh) '" + 6 I20H~5040 +
dou *-,=t(1+8ïo+".-J
2wi3 / »// '
— - sm —
Substituant dans les secondes parties 2VtV» (</3) et(£3), du déplacement
>/. et divisant haut et bas par ///", puis faisant ml = 0, on trouve pour ces barres heurtées à un bout :
I Barre libre : le 2Vt V. = 2 — ^ M.
2U Barre pivotante : le iVr V. = — '1— M ■
c'est-à-dire que les parties transcendantes, prises sous leurs premières formes dans lesquelles m représente un nombre encore quelconque, donnent, si
on le fait nul (ce qui revient à calculer le terme de la série V où /// a pour
valeur particulière la racine m= 0 des équations devant fournir toutes les valeurs de m) donnent, dis-je, précisément, pour les déplacements, les parties algébriques <\vi existeraient seules pour les premiers instants si ta barre était rigide.
Ainsi la partie algébrique est comme ce qui vient, aux premiers instants d'une vibration dont la période serait infinie.
Mais si l'on fait ainsi m = 0 dans les expressions de n sous leurs formes simplifiées (r.) et (ws), on n'a pas. à beaucoup près, la même chose. Un trouve
en effet pour les dénominateurs - / Y.2d(\ (toujours après avoir ôté le facteur m6 existant haut et bas), des nombres quatre fois plus petits, et par conséquent, pour les valeurs du terme en w = 0 du 2 VtV, des expressions quadruples des parties algébriques à quoi se réduiraient les déplacements si la barre était rigide on n'entrait aucunement en vibration.
Cela est curieux, mais ne doit ni étonner, ni faire soupçonner aucune erreur. En effet, les transformations des expressions {q.) et (t.) de // en celles
(/•.) et (m.) sont fondées sur des équations [p.) et (ss) en m excluant la racine m = 0, ou applicables seulement aux valeurs non nulles de ce paramètre. Faire m = 0 dans des expressions applicables seulement à des racines non nulles n'était donc aucunement permis (*).
Mais celte concordance de la partie algébrique avec ce que devient la partie transcendante pour m= 0 n'est point generale.
Eu effet, si nous mettons pour les sinus et cosinus de m leurs développements dans la partie transcendante de l'expression (b.) du cas général de deux corps heurtants en divisant baut et bas par m6, et faisant ensuite
m4=0, l'expression (m.) nous donne d'abord, pour — / Z-'(7y>, b1 dènomi-
nateur de (d.) multiplié par- (P + og); puis, en substituant, on a
^Yn-f)](i
vi .v • • ">'' 2QA "r a \ ' I» /J V äP+GQ UV
> . A/ ; Slll = — ;— -
+~ ni'1 t r
1 i pi J-p..
Or, cette expression ne se confond avec celle (d5) du petit déplacement de la barre rigide /jne lorsque v = Q, c'est-à-dire lorsque sa première extrémité, pouvant au reste être unie à un corps q, est, ou non heurtée, ou fhe.
Il convient donc, comme nous avons dit au n° 16, de ne point compter sur la racine m = 0 qui s'offre dans les solutions. 11 convient même de l'abstraire, en déterminant séparément, par la mécanique des systèmes invariables, la partie algébrique; et cette partie pourrait être abstraite ellemême comme n'intéressant nullement le problème de la résistance vive de la matière de la barre aux chocs qu'elle peut éprouver.
kJ.~. — Cas de harre pivotante heurtée, traité directement. — Cette barre, de longueur a, de poids P, étant fixe au point z = 0, et heurtée au point ; —a par un poids Q avec une vitesse Y, on a
= — -j- a4 — = 0, a résoudre pour
ci1 t ;. '
^o;(^) = o,(^jro,(T»-T^jro4u)1=„=o,()(=-|»=l„M
(') On trouve une autre particularité singulière en substituant aux sinus et aux cosinus de m leurs développements dans l'équation en m, comme nous aurons occasion de le faire ci-après pour des solutions approximatives de problèmes de barres non libres. L'équation générale (A31 en /// devient en eilet, après la substitution des («5), en ôlant le l'acteur commun m4 :
(, + 42p+1,o,)*(£ + ,Jft + $) + =„,
équation qui a pour premier terme le dénominateur de la partie algébrique (ci-,) du déplacement u, en sorte qu'en en tirant m1, l'on a une expression dont le numérateur est précisément ce dénominateur d'une formule fournie par le théorème de la mécanique élémentaire pour le mouvement des corps rigides.
CHOC Ü USE BAHRE PIVOTAKTE. 529
La solution, on ne s'occupant que de la partie périodique qui, comme nous avons vu au n" li>, peut être traitée en abstrayant l'autre, sera
fc) w = "S-3-AZ'sin
si
M (^„'.(^ = 0,(^=0 ^ + ^(g)ro,SAZ | gas
à quoi on satisfait en prenant:
///; ., mz sni — sili — . x -, " « ,. . ., , fi '/■ \ Ht* i coli /// cos;» \
:J Z= — r. »dOllZ„=2, ( r— ) = — ( ., ■ I,
smm sih m " i ; ;.. 'fl ,-/"' I sih m sin /n '
si m est fourni par les racines réelles et positives de l'équation suivante qui résulte de la substitution des (z's) dans la quatrième condition définie (x3),
COS Ml coli Ml 2Q»!
sin /« sih m " P ' et si, pour satisfaire à la cinquième condition (z-) on prend, vu que Z == 2,
7MQ - '/■'</: VI .'q 1 a Jo
où le I 7J(h, afin d'éviter une intégration penible, sera calculé par
• m —m f - — -w/i» — ni'-1) \
ou, comme Za = 2 donne dï"a = 0, et vu la valeur (cl) de ( c~ ) ainsi que la
relation sih2 m — coh2 m = — I ,
P /'"y.,,. ''"' \ a '- ['"''(' cos Mi . eohro\~|) a Ja " — Anr ) ' r m\(r \ sin mi sili Mt/J)
P T ti /et
i | //< \si
P f <i / Coli »I COS »A /
ili /// siu m ' \ sin* m* sih2;//
et, en définitive
W¥-sfoÏÏ
^ m- 1' T 1 1 3 /cos m coli m H1
■ 2 Lsiii"'» sih"- //< m Isin/zi sih m 'J
expression pareille à la partie *2Vr^de (73) obtenue par la particularisa'.ion pour r— 0. rj=.-s. des expressions compliquées des iv 19 et 2.0, et ou l'on
, . Al C0S m
lient, puisquil n est plus Question de racines >n — U, remplacer
sin m
{. - . '" par {:■") '^—-, ce qui produira la même simplification qui s'est offerte sih m P
aux n,ls 6, li, 15 et 21 ; d'où, en abstrayant la partie algébrique précédant le V et donnée au n° 22,
vtT,
si n — sih —
sin m • sih m . m-t
— : — r sm —
r / i "*" 20 l siîïï
déplacement vibratoire qui est zéro aussi bien au bout mobile z~a qu'au bout fixe z = 0.
24. — Impulsions gradtcelles ou tranquille*. — J'appelle ainsi (fin du nn 1) celles qui ne sont point brusques ou qui s'opèrent sans des chocs et qui pourtant ne laissent pas de mettre en jeu de proche en proche, dans un temps fini, l'élasticité, ainsi que l'inertie des diverses parties des pièces et d'y provoquer des vibrations ou d'y contribuer.
(.'est ce que produit, par exemple, pendant que s'accomplit la flexion d'une barre horizontale appuyée aux deux bouts, le poids du corps qui l'a heurtée verticalement au milieu et qui continue d'agir verticalement sur elle après le choc ; c'est à quoi contribue même le poids propre des parties de la pièce pendant qu'elles descendent. Un effet de ce genre est encore amené si une force de direction quelconque agit continûment sur un point d'une pièce élastique avec une intensité ou constante ou variable en fonction donnée du temps, comme celle qui est exercée sur un balancier de machine par la tige d'un piston. Un effet analogue s'opère si une extrémité ou toute autre partie d'une barre est astreinte (par exemple à cause de sa liaison avec une manivelle) à un mouvement obligatoire, aussi fonction du temps et qui est transmis aux autres parties par l'inertie et les ressorts moléculaires.
Dans les solutions ci-dessus de problèmes d'impulsions brusques, nous avons négligé les poids des pièces ou barres, et ceux des corps heurtants. Cela est permis (avons-nous dit à la fin du n° 2), tantôt comme approximation, tantôt parce que la barre n'est heurtée qu'horizontalement, en sorte que la pesanteur ne contribue en rien à la tlexion qui lui est imprimée.
Mais si une barre horizontale est heurtée et fléchie verticalement, il faut, pour L'exactitude, tenir compte de l'effet contributif des poids, ou revenir à l'équation différentielle complète (d) du n° 2, en mettant dans la parenthèse du dernier terme la gravité g au lieu de la force transversale supposée quelconque g, <e qui donne au lieu de [d), en multipliant par g :
