IMPULSIONS GRADUELLES OD NO» IIHUSQUES

25. — Mouvements d'une barre horizontale appuyée aux deux bout» et heurtée verticalement au milieu par un cor/)* rigide, calculés en tenant compte de l'action graduelle de son poids propre ainsi que de celui Q de ce corps et aussi de celui <y (Fun autre corps <jue (pour plu* de généralité) l'on suppose être uni à la barre et recevoir le coup. — Nous appelons, comme au nu 4, P le poids de la barre prismatique et homogène de longueur 'la, V la vitesse du choc, et nous faisons encore, pour abréger :

en sorte que C[ est le poids total du système dont r/q sera un élément quelconque.

L'équation à intégrer est ainsi

/ \ a t^-U \ . ' 'Il

avec les conditions-limites, semblables à celles (m) du n i.

K .-.=•■ (~) =•. fè) =0;

et avec la suivante au lieu de celle (n),p. i96, vu la mise en compte des poids Q et q', et des inerties des deux corps unis à une tranche élémentaire de la barre, pour faire équilibre aux efforts tranchants s'exerçant de part et d'autre sur les bases de cet élément mince, à chaque instant du mouvement simultané de la barre et de ces corps :

On fera disparaître les termes — g des parenthèses de cette équation (cj et de celle (c/J en posant ir, i u = ut + G ,

u{ étant une inconnue auxiliaire, qui représente ce que seraient les déplacements u des points de la barre si les poids n'y agissaient qu'au re[ os. On obtient ce déplacement purement statique ut en ôtant, des équations ci-

dessus (c4), (et) le terme dynamique -rjr, c'est-à-dire en résolvant l'équation simplement différentielle

. #*»i „ i ■•«• Pft3 ic~'u\\ — in- + a* -r—^ = 0 , avec la condition — (n- = ; - —

Lue première intégration faite en déterminant la constante de manière

— ot3 iQ -+- Q') que pour 2 = « la dérivée du troisième ordre ait la valeur — ■ — p—r , donne

#*«, g& JQ4-gf

i s? «4 ' Pa5 '

d'où, en intégrant de nouveau, eu égard aux conditions-limites (dk), les mêmes pour uit que pour u,

ou, en mettant pour at1 sa valeur^ >

ce qui offre l'équation connue de la forme que prend sous son poids propre P et sous une charge Q + q' au milieu, une pièce appuyée de longueur 2a. On l'aurait obtenue directement comme à l'ordinaire en posant, autour de

( 'u l'axe horizontal du moment— El — des forces élastiques s'exerçanl à travers la section o-, l'équilibre de rotation entre ces forces et 1° la réaction ^—^ — —de l'appui s = 0, agissant avec un bras de levier z; 2° le

p poids — z de la portion de la barre entre cet appui et o-, pour un bras de r 2rt

levier moyen égal à la moitié g de sa longueur.

L'expression MtH-U de u, substituée avec cette valeur (/4) de ut dans les équations (c4), (dj, (e4) du problème actuel, les réduit, comme on se leproposait, à la forme de celles du problème résolu au n° 4, savoir à

équations dont les quatre premières sont résolues par

* . mz ., mz

... sin — sih —

Six, . m-t n m-t \ . .. a a

Z — A sio r I- cos — , ou / = : — ; \„i- fc? ~ J cosm coh m

le V s' étendant à toutes les valeurs de m, racines de l'équation qu'on a en portant cette expression de Y dans la dernière condition (>/,), équation qui

est

Si l'on y met pourZ son expression (ÄJqui déjà satisfait, par sa forme, aux autres conditions, on a, pour déterminer toutes les valeurs de ce paramètre m.

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