PULSION EN PARTIE BRUSQUE ET IN PARTIE GRADUELLE. DOO

Et les coefficients du sinus el du cosinus doivent être déterminés par les expressions générales (»,) du n° 10, page 507 :

f Z<I>uw/<[ | V¥{z)dn

| z-vq | z*dq

-I» ci, valeur initiale de I, devra être la valeur initiale de u diminuée de la valeur [fj de ur Or la valeur initiale de u, ou ce qu'on a appelé o u) dans tout ce qui précède, est ici le déplacement éprouvé par le point de la demi-barre dont l'abscisse est z, à l'instant £ = 0 qui a précédé l'arrivée du corps heurtant Q; c'est donc la partie de la flexion statique //, exprimée par (f), qui est due seulement au poids P de la barre et au poids additionnel q' qui déjà lui était uni. En retranchant de //, cette valeur initiale y (z) de u, il ne reste évidemment que la partie de {f4) affectée seulement du

poids heurtant Q, prise en signe contraire. Donc, il faut faire, dans les (k,j, Voyez pour T (z) au n" 6, l'explication qui a été donnée à nue sous-note]

Qa*/dz \z'\ q-1 Q

' 4 i W (:•) = $ (z) = V pour le poids Q dont l'abcisse est :■ = a , \ et = 0 pour tout le reste.

On aura pour le numérateur de B

K) J Zd> (z) dq = (Q + q') -I> (a) \ + 2 1 £ W (z) dz.

Pour en calculer le second terme, des intégrations par parties donnent

, c . sih# . c . coli x \

eu égard à ce qu en gênerai — ? =cona:; — g = sin# >

fa . mz , f az mz a- . mz "

z sin — dz = cos 1 : sin — ;

fa mz . (az mz a-

z sui — dz = ( — coli — :, si h

mz. u- ., m z ■ dz — — cuti

f« . mz , f/ "-■"' 6a3z\ mz , 7,a-z- 6a*\ . mz~\a

z'' sio — dz —\[ 1 cos j- ; ; sin — ;

jo a L\ "' m> / " V '"" '"' a J"

, '" ., mz . V faz* 6a°z\ . mz , Thi-z- 6a4\ .. mz~\<*

z • S|h — dz = \ 1 - coli — - H ; sih — •

,/ii u |\ '" '"' / a \ "' '"v a Jo

Comme ces expressions s'annulent à la limite inférieure c; — 0, on trouve, d'après la valeur (/<4) de Z,

. ,, C" .. i ô ; I s3\ 2fl 3rt /sin m si 1 1 m\

(»Ul Z- — ) = (- — r ' ; <

Jo y l ii i <t'J m m* \ cos»; coli»;,/

On a ainsi

(Q+Q')$(fl)Za = -(Q+Q')Ç:Qza; l- f" Z*(z) //;■ = - - 9— Q- 1-- + r- (^ - sih/"')l

(i ,'n fl .> I' | m ' ///* \ cos m COhw 'J

n .,, . . , „ sin m sihwî 2P

Lomine 1 eiiuation (/.Jon//* donne / = ; — = 7^ ; — » si 1 on

• ' " cos m co h m (Q-f-Q)m

ajoute ces deux expressions pour avoir celle (m,), la première des

2a deux détruit ce qui vient du premier terme entre crochets de la deu-

xième, et il reste, pour le numérateur (w4) de B :

Celui I ZvuV/qdeA est (comme au n° 5 puisque 0 seul avait une vi- • q

tesse),Q\Z/(,qui est ici = QA -— — — — ; et leur dénominateur est, aussi <" l (Q-t-Q')ro

comme (0Q du n° G ou (b2) du n° 13 p. Ml), sauf (Q-ho/) au lieu de Q,

/ \ /' v>;,. P r 1 1,1 /sinwj sih m\~\

Jn *■ 1 Lcoss»w coli- m m \ciism coli/«' |

2 \cosawi coli-/// ' (Q-t-Q')ma

On a, en conséquence, pour le déplacement cherché u, en substituant les (fc,f)A,B dans l'expression (A4) de U, et en y ajoutant pour avoir u, celle (/4) de uit cette expression (qui se trouvait dans le Mémoire de 1857 dont un extrait se voit au Comjite rendu de la séance du 10 août, p. 237) :

:.IVr/8:. 4*s , 1 i*\ (Q + Q') a-' / Ö z 1 z: u =

.>!'»■ / 8 \z 4 z-' ] z* \ 48ÏÏÎ ' 5 a ~ "5 (T- ~l 5 a* ) "*

fi Kl \ 2 a 2 o!

(pj

sm — sih — ■ // a

<J v< l cos/// coh /// /,. . ///'-/ en- m-l

77—, 7 Zj — : — \ \ 77T> ^ " S1D —, COS

cos-?« coli-/// ///- (0 -f- q')

expression où l'on peul remarquer une certaine analogie avec celle quia été donnée pour les déplacements longitudinaux des points d'une barre pesante fixée à un bout et heurtée à l'autre, par Poncelet, et où se trouvent ajoutés, à celle qui avait été donnée parNavieren série de termes affectés de sinus de multiples du temps, des termes algébriques et une seconde série, affectée de cosinus, afin de tenir compte, comme nous venons de faire, de Tel-