RELATION ENTRE G, E ET I

K est à celle sur laquelle s'exerce T dans le rapport de 1 à^/2, nous aurons comme condition d'équilibre de T avec la composante de K de même direction tangentielle à la nouvelle face :

ou T=g-

Cela fait voir que les plans parallèles à la section diagonale doivent, dans le parallélépipède, être poussés l'un devant l'autre, parallèlement

à eux-mêmes, et qu'une force 3, appliquée par unité superficielle, est

nécessaire pour les maintenir dans les positions relatives où ils sont ainsi amenés. D'après ce qui précède, une ligne droite, primitivement perpendiculaire à ces plans obliques, formera avec eux, par l'effet

de la traction K, un angle £ — g, g devant avoir la valeur tirée de la formule (1) p = Gg, où l'on aurait mis, à la place de p, la force tangentielle que nous venons de reconnaître égale à ~, c'est-à-dire devant avoir la valeur

0 2G Mais on peut trouver directement cet angle g; car la ligne droite dont nous parlons, primitivement perpendiculaire à la section faite suivant la diagonale du carré a b, n'était autre chose que la deuxième diagonale. Si les deux diagonales doivent former entre elles l'angle ~ — g, après que la traction K a fait prendre- au côté a du carré

la longueur a ( 1 -h ^ Y et, par suite (§2), à l'autre côté du carré

la longueur a ( 1 — 9 = ), l'on a pour la tangente de la moitié de cet angle actuel des deux diagonales

taner ( -, — g '

ou, si l'on considère que l'angle g est très petit, ce qui permet de remplacer tang | par |,

ou enfin, en négligeant les quantités très petites d'ordre supérieur,

Cette formule comparée avec l'expression de g ci-dessus, donne

qui est l'expression cherchée. Il en résulte, puisque 9 reste généra-

lement compris entre 0 et ^, que G n'est généralement pas plus grand

que la moitié, ni plus peut que le liers du modèle d'élasticité E(*).

§ 4. — Équilibre d'un parallélépipède fini ou élémentaire, soumis à des tractions ou pressions quelconques, uniformément distribuées sur ses faces. Expressions des six déformations élémentaires (dilatations et glissements) en fonction de leur six composantes suivant trois directions rectangulaires.

D'après ces préliminaires, il est facile de déterminer l'état d'équilibre d'un parallélépipède, dont les faces sont sollicitées par des tractions uniformément distribuées Sur chacune, et de directions quelconques, mais les mêmes en tous les points d'une môme face. Pour ramener ce cas au précédent, il suffit de se rappeler un principe de mécanique, que l'on présente habituellement à propos de la théorie des petites oscillations, et qui consiste essentiellement en ce qu'un ensemble de causes dont chacune est capable isolément de produire un très petit effet," engendre purement et simplement la somme de ces effets particuliers!**).

(*) Ce raisonnement ingénieux par lequel Clebsch arrive à la relation (1 a) sans invoquer les formules de composantes de tension, qu'il donne plus loin, ni celles de changements de plans de tensions ou de pressions, suppose que les contextures sont les mêmes longiludinalement que transversalement.

'Aussi, voulant donner des formules applicables lorsqu'elles sont différentes, comme cela se présente presque toujours, nous ne ferons, dans ce qui va suivre, aucun usage de celle relation entre E, G et rç, que nous supposerons indépendants les uns des autres, ainsi que nous avons dit dans notre Avertissement.

Nous verrons, toutefois, que lorsque la contexture est la même seulement dans les divers

E' sens transversaux, il y a une relation de même forme f ou G, = 0 ■ . — s sans doute dé-

montrable de la même manière, entre le module E' d'élasticité latérale, ou d'extension de petits prismes taillés transversalement, la proportion t)' de leurs contractions aussi latérales, et le coefficient G, de glissement des éléments des sections transversales du prisme. (Voir le n" lti de la note de la fin du § ÎO.)

(**) J'ai démontré ce principe, en 1858, dans les feuilles litbographiées de Leçons faites à l'Ecole des Ponts et Cliaussées, en considérant simplement deux molécules dont l'une peut être supposée restée immobile tandis que l'autre a éprouvé une suite de déplacements extrêmement petits par rapport à leur ligne de jonction : comme, en les projetant sur celle-ci,

§ 4. — ÉQUILIBRE d'ü-N PARALLÉLÉPIPÈDE. 13

En conséquence de ce principe, si un parallélépipède est sollicité par des forces quelconques agissant sur sa surface, on peut décomposer ces forces, de manière que chaque composante soit capable de produire, suivant sa nature, un des effets qui viennent d'être considérés, et examiner ce qui résulte de l'addition de ces divers effets.

Bornons-nous, ici, uu cas où la matière est tout à fait isotrope.

Considérons deux à deux les faces opposées du parallélépipède, et d'abord, par exemple, celles qui sont perpendiculaires à son côté a. Ces deux faces doivent être sollicitées par des forces d'égale intensité et de même direction, mais de sens opposé. Je les décompose suivant les directions des côtés a, 6, c, et je désigne, pour l'une des deux faces, les composantes respectives par

et pour la face opposée par les mêmes lettres affectées d'un signe contraire. Je décompose de la même manière les forces qui agissent sur les faces perpendiculaires à b, en

ha> %b-> ^bcy

pour l'une des faces, et en forces opposées pour l'autre; enfin, de même les forces qui agissent sur les faces perpendiculaires h c, en .

t eu ' h-b ' ^cc '

en sorte que la première des deux sous-lettres indique constamment la face par sa normale, et la seconde, le sens de la décomposition. On obtient de cette manière des forces de traction taa, \0b, tcc parallèles respectivement aux trois côtés, et, en outre, des couples de forces qui agissent sur le parallélépipède à la manière de celles qui ont été considérées au § précédent (c'est-à-dire dans le plan même des faces sur lesquelles elles sont appliquées). Ces couples doivent, pour que l'équilibre puisse se maintenir, être égaux deux à deux, d'après ce qui précède, en sorte que

( 1 &) hc — Kb ' Ka — t<zc ' ^ab = ^ba ' C )

on a des quantités proportionnelles aux forces qui les ont produits, le déplacement résultant, ainsi projeté, est celui qui aurait été engendré par la résultante des forces.

On peut tirer ce même principe de la linéarité des expressions des composanles des pressions en fonction des dilatations et des glissements. (Voir la note à la On du § i 1 .)

(*) Il s'agit ici de l'équilibre de rotation. Il est évident qu'en prenant pour axe des moments un des côtés a, l'équation de moments ne sera à poser qu'entre les composantes

parallèles à c, agissant sur chaque unité superficielle de la face ac, qui est à la distance

L'action de ces diverses forces allonge les côtés a, b, c, et change les grandeurs de leurs angles; et il ne faut pas perdre de vue que le changement de longueur de chaque côté est dû, non seulement à l'allongement que produit la traction agissant suivant sa direction, mais encore aux accourcissements que déterminent les tractions agissant dans les directions des deux autres côtés : chacun des trois allongements apparaît donc comme une différence entre un allongement réel produit par la traction correspondante et deux accourcissements résultant des deux autres tractions.

Qu'on désigne donc les longueurs nouvelles des côtés a, b, c par

a(i+a.), t(H-A), c(n-ac)

et aussi, sous l'influence des forces t, les angles nouveaux que forment entre eux les côtés

M Par \ — Si*' c,a par —g^, „,b par ?-g„,,

alors, les valeurs des six quantités ou fractions numériques très petites 3«» <V sc' g&c' Se«' %ab* sont, d'après les §§ 2 et 3, et eu égard à ce que

l'on a (la) G = --. dans les corps tout à fait isotropes

( V=| [laa ~ 9 K + U] » «he = ^ ( » + 0)

(1 c) K = J [«i*- 9 (*, + lj]f SCfl = ^ (1 + ■))

6 de ce côté, et les composantes t parallèles à b, agissant sur chaque unité superficielle

de la face ab, qui est à la distance c du même côté a ; car les autres composantes ire fournissent que des moments nuls ou qui se détruisent. On a donc

cet. b se ab.X . .c d'où t, = t ..

H cb bv cb

Lös deux autres égalités se démontrent de même en prenant les moments autour d'un côté b et autour d'un côté c .

(') De ces six équations, en les résolvant par rapport aux six composantes t, et écrivant as, y, z, au lieu de a, b, c, l'auteur tire au commencement du g 1 1 les expressions de