IMPULSION TRANQUILLE, PU; INF. FORCE CONSTANTE

par son poids. Les dénominateurs auront la même expression (ot), avecQ/ = 0, qu'au numéro précédent. Le numérateur de A peut être laissé sous la forme où nous venons de l'écrire. Celui de B aura une première partie qu'on

peut, de même, écrire simplement I ïq(z)d([ tant qu'on ne spécifiera pas

la forme de ® [:■) ; et on aura pour le reste, savoir

(.j - f ZMq = - Qz« («.), = a - -' 4 f* &M* •

Vu la valeur (s4) de ult qui pour ?=o, se réduit à |=n, et l'équation en m

donnant Z —-—• et vu aussi la valeur (m'4) de Z -7 - — s - ]dz, cette a Qm ,'(i \'2 a 2 a-y

expression revient à

Pças P qa* r u2a 5« / sin m sili m \1 7)inYA « 0E1 L m m*\çasm cuh»i/J

Le premier terme de cette expression, comme dans le calcul de l'expression

analogue (n,\ du n° 25, détruit ce qui vient de — — dans le second, et il

. . sin m sih m !2P

reste, en remplaçant ■ — : — par — - :

cos m coli m \}m

Numérateur de B = /? (5) r/(T — h™- -rr- a—-'

Ou a ainsi la solution

2o 2«"> Q^ïmi rzsd

ms 1

<] n ; — cos ■

J„ ^ 2\cosam coli- m «J»«- / J .1 4 ^«'w «Jo yw

eus m a coli m a

=QZ0<p(«) + F

expression qui se partage, comme on voit, en deux parties, l'une due à l'état initial, caractérisé par les fonctions 7 (2) = [u)t 0 , $ (2) = ( ~ ] où ^ (s) pourrait comprendre, comme dans les problèmes précédents, une vitesse

538 chap. iv. — note ni; g 01 . — impulsion transversale.

d'impulsion brusque; l'autre, due à l'action delà force q supposée partir sans vitesse de l'état naturel où aucune flexion n'était produite.

27. Même barre sollicitée de même, quand la force horizontale q, dont elle subit V impulsion graduelle ou tranquille, varie d'intensité avec le temps au lieu de rester cnnstaute. — Soit

la fonction du temps exprimant l'intensité de cette force. Yoici le procédé général trouvé par Duhamel en 1830 pour déduire, de toute expression telle que. celle (,i\) donnant, au bout du temps l des déplacements u dus à l'action d'une force constante q à laquelle ont pu se joindre les effets de déformations et de vitesses initiales quelconques, les déplacements qui auraient lieu si cette force avait une intensité variable avec le temps suivant une loi connue (*).

On commence par mettre, dans cette expression complète de u, à la place de q sa valeur initiale

(«)f=0=rto)i

ce qui donne, pour l'époque t, c'est à dire l'époque où le temps t aura été écoulé, une première partie du déplacement cherché u, à savoir celle que produirait une force f (0) supposée agir continuement avec la même intensité pendant tout ce temps t, et unir son effet à ce qui est dû à l'état initial.

Puis, en mettant en oeuvre le principe de la superposition des effets des forces, et en appelant i toute portion du temps total /, comptée à partir de t — 0, l'on ajoute les déplacements qui seraient séparément produits pour l'époque t par les accroissements successifs dq = f (s) (h. de la force; chacun étant supposé s'exercer sur le système avec une intensité constante depuis l'instant marqué par i où cette portion dq a commencé son action jusqu'à l'instant final marqué par t. Ce temps d'action de la force f (s) de est t — e, et l'on obtiendra évidemment la portion du déplacement u produite par cet élément dq=f (g) de de l'intensité de la force, en mettant, dans la partie de l'expression (.rj donnant l'effet, pendant le temps t de la seule force q sans déformations ni vitesses initiales :

f (g) <h à la place de q; I — e à la place de t.

En ajoutant tous ces déplacements partiels, on aura le déplacement total. Le procédé se réduit donc :

f) Duhamel en avait émis la première idée dans son Mémoire de 1829 sur la méthode relative au mouvement île In chaleur dans des corps plongés dans un milieu dont la température varie mer le temps. (Journal de l'École polytechnique, 11'' cahier, 18r>3). Il l'a développée l'année suivante dans son Memoire sur les vibrations d'un système quelconque de points matériels, présenté le 23 avril 1850 (même Journal, 2.V cahier, 1S.">4, p. t à 36), quant à son application aux corps élastiques dont quelques points sont soumis soit à des déplacements obligatoires, soit à des forces aussi variables avec le lemps.

IMITIMov GRADUELLE, P VU UNE FORCE FONCTION Kl' TEMPS.

]" A mettre dans l'expression complète {.i\) du déplacement qui est dû, au bout du temps t, à une force constante q et à l'état initial donné :

/'(0) à la place de cette force 7,

ce qui donne une première portion du déplacement cherché qu'on désire avoir pour le temps final t ;

2° Pour avoir l'autre portion, à mettre dans la partie de l'expression de 11, indépendante de l'état initial et due à la force q :

f \i\ilz ;'i la place de 7, ■ t — sa la place de / ;

et à intégrer de s = 0 à s=£ l'expression qui résultera de cette double substitution : car ce sera ajouter ensemble les effels partiels produits pour l'époque tina'e t, par ces forces partielles dq~f (e) riz, chacune pendant son temps propre d'action.

En opérant ainsi sur l'expression (arj de u, nous aurons trois parties : 1° la série 2 qui forme son premier terme, sans la modifier; 2° le second

terme, affecté de ~yr, en mettant /' (0) au lieu de q\ 5° ce même second

terme, en y mettant f (e) <k pour q et t — 1 pour t, puis intégrant de 0 à t.

Dans cette intégration, la partie ^- (5 - — k ~l) I f (e) de, où le temps ne

Util \ ( ' m. (l ? / n

se trouve pas, se réunira naturellement à la portion -p-, ( '- - — - — ] f ' (0).

oEI \2 a 2 a")

si simplement on y met f (t) au lieu /'(O) ou /"ï</î, car on a bien

On obtiendra en conséquence si l'on fait, pour l'intégration par rapport à -, passer sous le signe z le q=f (e) ch qui est hors de la parenthèse de la