deuxième partie de (,r4) et si pour Z et | Z-</q on met leurs valeurs
f m*)dq
2P«5 y J QEI ^ /«-
sili —
coh m
r pcos^(f s)//(e)rfs<
cos- //1 coli- III
r>40 CHAI'. IV. — NOTE DI' §61. IMPULSION TRANSVERSALE.
Des quatre ternies de cette expression, les trois premiers auraient pu être posés à priori : c'est le dernier facteur du quatrième, que la méthode de Duhamel a appris à déterminer.
28. Mouvements de la même barre verticale quand son point milieu a subi transversalement an petit déplacement invariable. — Soit a ce déplacement invariable après lequel le point milieu est supposé reprendre son repos; les déplacements successifs u de tous les autres points seront régis par
et- c ;'
/ {u). 0= 0 , ( ~ \ = 0 ,( ~ \ ==Q, {u) . a — a quel que soit / ,
ainsi que par des conditions initiales quelconques qu'expriment les (r4) du n° 2G, mais où les fonctions y et ^ devront avoir une forme compatible avec {u)x = a=^a constamment.
Cette dernière condition (a3), (u)a = u, remplace, comme l'on voit, la condition d'équilibre dynamique posée dans les problèmes précédents entre l'inertie du corps entraîné Q et les efforts tranchants s'exerçant de part et d'autre sur les deux sections limitant l'élément de barre auquel il est joint. Ici, que ce corps Q soit uni ou non à la barre, son inertie n'entre point enjeu.
Faisons, comme ci-dessus, u = ui-\-J], la partie u{ étant purement statique. La résolution des équations (a8) avec ux mis au lieu de u, et en réduisant la première à t—^= 0, donne, comme pour (sj du nu 26 :
(>',) Mi = «
a lJ tr
- — -f- /. Z (A — ■ sin f- B cos ,
Et maintenant, posons l'expression (c.) u = *(î- -i-W^J z (
qui est propre à satisfaire aux (a3) si la fonction Z de s et de m satisfait à t-z-i «*nï = o,(Z)0 = o,(^jo= 0,(^1=0, «+ 2/,(A/-rsm-r + ncos-j
Les quatre premières de ces conditions donnent à Z, connue dans les précédents problèmes, la forme
. mz ., mz
sin — sili —
v ■' coswî coli m
et la cinquième ne peut être satisfaite, quel que soit le temps t. que si l'on a
BARRE, DONT DM POINT A SDB1 DM DEPLACEMENT INVARIABLE. 541
Za=0, ce qui impose que les valeurs du paramètre m soient les racines de l'équation transcendante
. . sin »i sili m .
(<'-) : — = (I, ou tans m — tali m = 0.
x ° cos m coli m
Voyons quelles seront ces racines.
Comme la tangente hyperbolique tah m est toujours positive, égale à zéro pour m = (l, et à 1 pour m= y:, celte équation ne peut être satisfaite que par des valeurs de m dont la tangente tang m est positive, et au plus égale à 1 ,
c'est-à-dire par m compris entre 0 et ~, n et -j-, 2tt et -r, Ôtt et — r-, etc.
Dans le premier intervalle, on n'a tang m = tah m que pour m = 0, car pour toute autre valeur de m,
m3 "2m' 17m7 C)'lin'' 1383m11
tMllf ))l ))( -I- -L- -f- -J- -j- -4- ....
lang m — m -r . [& -t- ^ , ^5 -r [55g25
est toujours supérieur à
nr 'lui' \lur 62m9 tah m = m — -=- + -p ^-p- 4- ^rr- —
Dans le deuxième intervalle, on a tang ~ = 1 , tali — = 0,99922 ;
Dans le troisième : tang — A, tah -T = 0,999998.
D'où il suit qu'on peut prendre pour racines, vu le degré d'approximation dont nous nous contentons
tang m = tah m = 0, 1 , 1 , 1 , . . . .
Cette possibilité d'obtenir de l'équation (rf5) des valeurs de m en nombre infini, et rapidement croissantes, étant constatée, poursuivons la solution.
Quelles que soient les formes des fonctions cp et -l entrant dans les conditions limites données («)/=0=f (-), (V" ) = v (-). si on multiplie par
-Zf/z les équations qui en résultent a
et si on les intègre de : = 0 à z = a, on peut en tirer les coefficients B, A sans avoir besoin d'ajouter QZa g> (a), QZa^(«) aux premiers membres, ni
5i2 CHAP. IV. — NOTE DO §61. — IMPULSION TRANSVERSALE.
BQZ*, AiQZ* aux seconds, car d'après (e5), on a Zrt = 0. On obtient donc
- Zff[z)dz—-*\ / z--)'h- -I Z$ (*)<**
, , „ »,'o a J(i \2a 2fl7 . a Ji)
in») B = [7—^ A = ~F7^
ZV; - Z*dz
a Ji) a, In
,, . , v i... j .i i 2fl 5a /sin »i sih /// i
L expression (///«) nous a deia donne la valeur 1 — ; ; — ,
r - m m'\cosm coli mj
ia
ici réduite à , de la seconde des intégrales du numérateur de B; et
celle du dénominateur, aussi obtenue ci-dessus, qui est -r ( — ; n—)
n 2 \cosäm cohäm/
sih m\ , , ., , . . a / 1 1 \
— : — se réduit a son premier terme „ — : rr~ •
coli m/ r 2 \cosm coh2m/
5r/ /sin m sih
m \cos //t Mais, d'après l'équation (<?s) en m élevée au carré, on a
1 — cos- y» coli-/// — 1 ... I I I — cos-///
; = — > U OU ; ■ — — = 2 ; = 2 tailg" /// I
cos- m coli- /// cos- m colr- m cos- ///
quantité égale à zéro pour la racine m = 0, et égale à 2 pour toutes les autres, dont la tangente est = 1 ; en sorte qu'on a
(1H) Cv<h = a
Substituant, séparant la partie affectée de a et abstrayant la racine m = 0 qui annule Z, on a définitivement pour solution
(*■) « = S Z I ~~\ ( I " ZV (z) dz ) siu — + - ( I Zv (2) dz ) cos -
+ a r» — 0 — + 2j — L cos — ■ \ ; ou /j :
sin — sili — 1^ 2 „ ///'-/ , „ // //
cos /// coli //! '
expression où l'on pourrait, avec une très grande approximation, remplacer m par ("-h- ) *» dans les séries 1, qui seront convergentes vu les
dénominateurs m2, m ; en donnant à n toutes les valeurs entières de n == I -à n= 00.
20. Mouvements de la même barre, quand son point milieu est astreint à un mouvement transversal, fonction donnée du temps. — On passera du cas précédent, où ce point n'éprouvait qu'un déplacement invariable a, à celui où il éprouve un déplacement variable
par la même méthode de Duhamel qui a servi, au n" 27, à passer du cas
BAHKE DOM I > POINT EST ASTREiM A I M MOI \ . I i»M . DI II.MI'-. .') '» ."
d'une force constante q agissant sur ce point, au cas d'une forée variable q = fit); c'est-à-dire que :
lu L'on fera d'abord a=F(0) dans l'expression complète u'.,) afin d'avoir pour l'époque t les déplacements // des divers points de la barre, déterminés tant par l'état initial que définissent les fonctions 7 ici, <£ (*), que par le petit déplacement F (0). auquel on astreint immédiatement son point milieu.
2° Pour évaluer, afin de les joindre à cette première partie de //, les autres parties dues à la suite des petits déplacements additionnels F'(e) de du point central, produisant leurs effets pendant des temps successivement décroissants ' — g, l'on remplacera, dans la partie de (/',! affectée de a, a par F' (s) de, t par t — î: et l'on intégrera de s = 0 à z = t. Il en résultera, comme
on a F 0) -+- / F' (c}de=F(t),
i u = la première ligne ou le premier ^ de u8) -f
Ü) \ ' ' +Fl0)VlZcos^ + (5i li!)F(/^2l fcos^^P^/,
La masse - du corps supposé uni à la barre n'entre point dans cette formule (js), pas plus que dans la formule (i.) dont elle est déduite. Elle est cependant complète si le mouvement obligatoire désigné par a = F {t) est uniforme, car alors, l'inertie de Q n'entre toujours pis en jeu. Mais il en sera autrement si ce mouvement est varié, car l'inertie dont il s'agit fournira
une force variable — -F' \t) pioduisant son effet comme faisait la force va-
riable q —f{t) dun° 27. 11 faudra donc alors, pour compléter l'expression ij'si des déplacements u, y ajouter les trois derniers termes de la formule (zh) de
la fin du même numéro où l'on aura mis — -F' U), — - F' (0), et — -F" (s)
9 il il
à la place de f{t), f (0), f (s). Nous n'insisterons point sur cette circonslance.
00. — Autre procédé plus simple pour évaluer les effet* d'impulsion graduée dus, suit à une force, suit à un déplacement obligatoire cariant en fonction donnée du temps. -~- Ce procédé, aperçu ou entrevu par Poisson en 18i8|*), mais mis en lumière et heureusement transformé par M. Phillips, dans un remarquable Mémoire de 18G4 (**), donne des résultats ordinairement plus simples que le procédé général de Duhamel des nos 27 et 29; mais son application exige que les fonctions f(t), F (t) du temps aient des formes particulières, susceptibles, par exemple, en les multipliant par des
(*) Mémoire sur le mouvement des fluides élastiques, etc. (Me'moires de l'Institut, t. II. Voir au § '2, intitulé Nouvelle manière, etc.).
("*) Solution de ri i vers problèmes dans lesquels les conditions imposée» aux extrémités des corps sont des fonctions données du temps, lu le 15 lévrier 1804 (Comptes rendus, p. 517), et imprimé au Joui nal de mathématiques pures et appliquées, t. IX. n° de janvier 1864.
Jonctions transcendantes de l'abscisse z, comme celles que nous avons appelées Z, de satisfaire à l'équation aux dérivées partielles du deuxième ordre en t et du quatrième ordre en z, qui régit les vibrations transversales dont nous nous occupons. Telles sont les fonctions de t, périodiques, ou exponentielles, ou entières ne dépassant pas le second degré.
Donnons-en un exemple où la fonction est périodique, comme il arrive généralement dans les mécanismes. Supposons que la barre verticale de longueur *ïa et de poids I', appuyée aux deux bouts, que nous avons considérée aux numéros précédents, soit astreinte, en son point milieu z = a, à un
mouvement alternatif d'une période — et d'excursion 2r, comme si le mou-
vcment était commandé par une extrémité d'une longue bielle borizontale rigide, dont l'autre extrémité serait unie au boulon d'une manivelle de rayon r; en sorte qu'on ait, pour le déplacement obligatoire de ce point milieu
(/,•„) (n): a — r — r cos al,
d'où successivement, pourwf=0, ->«,—> zk» —» ....
Faisons
Vir . , n-
T- =-— — connue ci-dessus, et w = — 2grEl t
La détermination des déplacements des divers points de la barre dépendra de la solution de l'équation
[ms) ainsi qu avec u/). = r — r cos — ;
et du reste, avec des conditions initiales quelconques
pourvu que les fonctions » et $ soient compatibles avec les quatre conditions (/:i) et (m6) aux points particuliers 3 = 0, z = a.
Faisons
la partie //, étant composée de manière à satisfaire à l'équation différentielle et aux trois conditions (/.) ainsi qu'à celle (mB), ce qui est possible d'après la forme de celle-ci, sauf à astreindre ensuite la somme //,-+- l à satisfaire à toutes, y compris les conditions initiales (ws).
Comme l'équation du V ordre peut être satisfaite par tout produit de
MOUVEMENT PÉRIODIQUE OBLIGATOIRE d'un DES POINTS. 545
fonctions de z et de t tel que ceux dont nous avons fait usage jusqu'ici, mais peut l'être aussi en y ajoutant toute fonction entière de z d'un degré n'excédant pas le troisième, puisqu'une pareille fonclion n'ajoute rien ni à
-—• ni ù -T7T, nous essayerons, les D,C',A',B' étant des constantes,
/ + C sin h G cos 'r G, sih h Cl coh — A — sm — + B' cos — ) •
En substituant dans les conditions (/.), (?/,)0 =0, \-~\ =0, ( — ) =0 on a successivement :
Do = 0, C; + C: = 0, puisDa = 0, — C;4-C1 = 0; puisD^ + oD-rt^O, C^ cos n + C^ coh n = 0
,, . n / z3 \ , „, / . nz cos n .. nz\ ( -. . nH . . n-t\
d ou ?/. = D, 2 — :r— -f C sm — sih — A' — sin h B' cos — •
\ 3a*/ » \ a coh » « / \ " T T /
La condition (wig), à remplir aussi quel que soit t, donne
2 / sih n\
D.-~a = v, V = 0, B'Cl sin n — cos n — r— -== — >• • 1 5 °\ coh??/
Tirant les valeurs de Dt, deB'Crj, on a, en substituant, cette expression cherchée de la première partie du déplacement u :
. nz ., nz
sin — sih —
, . /oz 1 z*\ cos» coh« n-t , / —
(w8) «,==?• " - — — r—. -. cos — > ou n = y/"" ;
w ' \2o 2 «7 sm « sih » t
cos » coh /;
expression résultant de la composition d'un déplacement statique ou indépendant du temps et d'un déplacement périodique ou alternatif à période
sensible — , généralement bien plus longue que celles des mouvements in-
teneurs d'une infinité d'ordres, et superposés, qui constituent les vibrations élastiques.
Pour avoir la seconde partie de u, appelée U, qui donnera ces derniers mouvements, substituons à u la somme vt-+-l dans l'équation différentielle et dans les conditions (/-), (m5), nous aurons, eu égard à ce que la première partie, ut, y satisfait déjà:
équations satisfaites quel que soit t, par une série
U= >j ( C0 sm V C, cos hC2sih \- C- coh — A, — sin h B, cos —
si l'on a
C1+C5 = 0, — C1 + C. = 0, C0cosm=— CgCohîw, C0sin»i = — C2sihm.
Les trois premières de ces égalités réduisent les quatre coefficients C à un seul, C0 qui peut être fondu avec ceux A', B\ en faisant C0V cos m = A ; C0B'cosm = B; et les deux dernières, divisées l'une par l'autre, donnent l'équation à laquelle doit satisfaire le paramètre m. On a ainsi
(ft) U = Sz(A^sin^+Bcos^).oûZ
. mz .. mz sm — sih — ■ a a
cos )>i coh m
les m, pour les termes successifs de la série, étant toutes les racines (il suffit comme aux n"s 4, etc. de celles qui sont réelles et positives) de l'équation transcendante
sin m sih m . v â' cos m coli m
équation pareille à celle (<?a) à laquelle a déjà conduit le problème du n° 28, et qui donne, à cela près de 8 dix millièmes pour la première et plus petite racine, 2 millionièmes pour la seconde, etc., et en abstrayant celle m=0,
5îï 9tî 13*
en sorte qu'on peut avec une approximation suffisante faire m = ( i + -r ) s, et prendre le ^j de î = 1 à i = ao.
Reste à déterminer les coefficients A et B de l'expression (</3) de U. de manière à satisfaire aux conditions initiales
.(s 5) (t]), = 0 = t W - M« = 0. et (fy )t = Q = * (;)>
car on a [ -rj ) = 0 d'après l'expression (ps) de m, •
Mettant pour les premiers membres de ces équations leurs valeurs VAZ et VßZ, puis, multipliant par Zdz- et intégrant de 0 à a, tous les termes des deux séries disparaissent liors un seul eu égard à l'équation (r5), en m, comme dans toutes les solutions ci-dessus; et on en tire, en mettant
