IMPULSION GRADUÉE OU CONTINUE. — BALANCIER DE MACHINE

dans le second membre de la première, pour ("i),=0 sa valeur tirée de

sin— sili —

,. . 1 Ca \ i \ /°2 1 s°\ , cos» coh » | .

rar,,, Jo I Va« 2«r'/ sin » Slh » 1 /*a

Z*aa t— Pdz

Ji) cos h con/i Jo

Les parties de la première intégrale qui ne dépendent pas de ? (z) se

trouvent toutes calculées, ainsi que le dénominateur commun / Z2d!z,aux

numéros précédents, Mettant les valeurs de B,A dans ((/.) U et ajoutant (p5) ut, on aura le déplacement cherché u, dont nous nous dispenserons d'écrire l'expression facile à construire ainsi.

51. — Balancier de machine à vapeur oscillant autour d'une situation horizontale ; sa flexion, sa vibration et sa résistance quand il est soumis à l'action et à l'impulsion graduelle de forces périodiquement variables s' exerçant sur ses extrémités par des bielles restant sensiblement verticales. — Ce problème est plus important que les précédents (*).

On peut bien se former une première idée des plus grandes dilatations des parties d'une pareille pièce, et, par suite, des dimensions transversales à lui donner pour que sa matière y résiste d'une manière permanente, en calculant ses flexions sous l'action purement statique des forces, approximativement supposées égales, qui agissent aux extrémités et dont les plus grandes intensités, périodiquement prises, sont généralement à peu près connues.

On peut même y ajouter, pour un peu plus d'approximation, l'action des poids d([=pdz de ses éléments et même celle de leurs inerties, d'intensités

— — - %— introduites aussi dans le calcul comme si c'étaient des efforts g d&

statiques, en attribuant aux déplacements u les valeurs fournies par la solution de première approximation dont nous parlons. On n'aura toujours ainsi, évidemment, qu'une solution incomplète, car les vibrations transversales de divers ordres, dues à la variabilité des efforts et à leur transmis-

(*) Tredgold a été le premier, nous le croyons, à émettre quelques idées théoriques sur ce sujet délicat (Essai sur la force du fer fondu, section xr, nos 257, 262, 289, 294). Mais ce n'était de la part du célèbre ingénieur qu'un tâtonnement, car il assimile inexactement l'action graduée des bielles à des chocs lorsque d'abord il conseille, à propos des tiges des pistons moteurs (sans doute en appliquant le principe avancé par Young, énoncé à la deuxième sous-note du n° 1 ci-dessus) de ne jamais donner à ces liges une vitesse de jjlus de lm,52 par seconde « afin que le refoulement de son propre poids n'y produise pas d'altération permanente; » et puis ensuite lorsque, pour les balanciers, il calcule la section à leur donner de la même manière que si, encastrés à l'endroit autour duquel ils tournent, ils étaient heurtés, à l'endroit qui reçoit le mouvement, par un poids égal à la pression du piston, animé de sa vitesse, dans l'instant où 1e produit de ces deux quantités est le plus grand possible, etc.

548 • CHAI». IV. — NOTE DU g 61. — IMPULSION TRANSVERSALE.

sion non instantanée, augmentent ces dilatations partielles et le danger des ruptures ou des éncrvations qu'elles peuvent amener, ou immédiatement ou à la longue.

liest donc désirable de savoir résoudre le problème du calcul complet de ces vibrations.

On ne pourrait y arriver exactement (comme l'observe M. Phillips pour un problème plus simple, celui de la résistance longitudinale d'une bielle) qu'en tenant compte des circonstances de la distribution de la vapeur sous le piston uni à la bielle motrice, etc., et aussi, en attribuant à la bielle opposée ou opératrice un mouvement en rapport avec celui de la manivelle du volant qu'elle doit faire mouvoir, etc.

Mais, comme ce dernier mouvement peut être attribué aussi à une force de réaction sensiblement constante de la roue opératrice, montée sur l'arbre du volant, ce qui donne, à l'effort de la bielle une loi périodique assez simple, nous attribuerons la même loi à la force motrice agissant du côté opposé ; et nous donnerons, en adoptant de pareilles suppositions, tout au moins une idée de la manière dont la solution de ce problème pourrait être utilement obtenue.

Supposons que le balancier soit prismatique (vu que le même calcul, avec un peu plus de complication seulement, pourrait être appliqué à un balancier à coupe longitudinale doublement parabolique ou d'égale résis-

p tance). Supposons ses deux bras égaux chacun à a, sa masse =-. Appelons

toujours E l'élasticité longitudinale de ses fibres, I le moment d'inertie de sa section quelconque a ; u les déplacements verticaux des points de son bras moteur ou de droite; ?/x ceux de son bras opérateur ou de gauche, à des distances % et %x du pivot pris comme origine commune de ces abscisses comptées dans deux sens opposés; et appelons q, qv les efforts verticaux de traction, dans les sens u, ult exercés par les bielles. Les équations à résoudre seront, en abstrayant ici les pesanteurs des bras ainsi que celles des bielles de transmission des efforts :

Bras de droite x- ~ + a4 ^ = 0,

avec ("V»0^°'(£!),:.B=0' EIß

tiras de gauche -- -~ + a'k -^4 = 0,

avec

et avec ces conditions de raccordement des deux bras se joignant à l'origine des z et zt :

IMPULSION CONTINUE PÉniODIQUt'. BALANCIER DE MACHINE. 549

ainsi qu'avec ces conditions initiales quelconques, mais de formes telles qu'elles soient compatibles avec les autres conditions posées:

Quant à la forme à assigner aux expressions des efforts verticaux q et 71 exercés par les bielles, observons que si, du côté gauche, l'on appelle — Qj l'effort opérateur qu'exerce, langen tiellement à sa circonférence, une roue montée sur l'arbre du volant, et d'un rayon égal à la longueur 1\ de la manivelle, effort qui est rendu sensiblement constant lorsque le volant a un moment d'inertie de grandeur suffisante, et si « est la vitesse angulaire de la manivelle, on doit prendre , le temps t étant supposé compté à partir de l'instant où celle-ci est horizontale,

</, = — 2Qi cos ut .

En effet ql devra avoir son maximum négatif pour l'angle U = 0, son maximum positif pour w£ = 7r: il devra être nul aux points morts où

wf=-et -£ ; enfin, comme l'espace parcouru verticalement par le boulon

de la manivelle pendant le temps dt est art dt cos ut, le travail de la force qt

pendant le parcours d'une demi-circonférence est rt j qx cos ut à Ut); inté-

grale qui, si l'on y fait qt = — 'iQ^osut est justement .égale à — Qi^ c'est-à-dire au travail de la force tangentielle constante — Qt ; en sorte que l'expression posée pour qx est bien ce qu'il faut pour que cette force verticale entretienne le mouvement du mécanisme en fournissant, à la fin de chaque période, le travail opérateur qui a été dépensé pendant sa durée.

Or, du côté droit, on peut attribuer approximativement la même loi à l'effort moteur q s'exerçant au moyen du piston d'une machine à double effet, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens opposé, et qui a aussi deux points morts et deux points de valeurs maxima l'une positive, l'autre négative.

Nous mettrons en conséquence, dans la ie et la 8" équation (y.), pour les deux forces q et qv eu égard à ce que, tantôt tractions, tantôt impulsions, elles ne changent de signe qu'ensemble, avec cos ut:

q = 20 cos (ùl , gx = 2Q, cos w< ,

Va*

2pTl '

/ ou nous ferons o> = — > t- étant

Nous poserons

l'inconnue auxiliaire v devant satisfaire d'abord à l'équation différentielle (y5) en u, ce qu'elle fera si l'on prend, les G étant des constantes,

v = C sin h L cos \- C" sih h W" coh — cos — :

expression qui satisfera aussi aux trois conditions particulières (//5) en u, si ces quatre constantes ont entre elles les relations

f C -f C'"=0, — C sin n — G' cos n + C" sih n -f C" coh m = 0.

(c6) i ras

/ El — (— C cos « + G' sin n + C" coh w + C" sih n) + 2Q = 0 .

Nous ferons usage dans la recherche des valeurs de v et vt en s, 2j et /*, et ensuite de U et Uj en .3, «4 et une autre constante m, des notations abréviatives :

sinn=:*', cos n=c', sihn=Ä', coh»=:Ä;'

. nz , nz , nz nz ,,

sin — = s.: cos — = c. sih — = h coh — = k

smm = s, cosm = c, sinm=r« coh m = A;

. ms »(2 ., /»^ , , mz

sin — = s ,. cos — = c , sih — =/< , coh — =/c . a - « - a - a -

Les deux premières conditions (c6) donnent C et G"' en G et G", d'où i \ [r> , fv/c i Gs' — C'A',,, "1 n-t

{%) V = [Lsz + Ll,z + & + k (kz - Cz)\ C0S — '

et la troisième condition (c6) donne entre les deux coefficients subsistants C etC" la relation (vuc'3 + s'ä = l, k"- — h'* = 1) :

(/■„) (- 1 + «'A' - c'a') C + (1 + s'h> + CAO C" =

rc3EI (c' + A') Pour le bras de gauche on trouvera analogiquement une expression

K) ». = LG'<i + G i Kh + <f+i (*„ - C«)J cos T ;

avec une relation

(rj) (- 1 + -s'A' - ok) c, + (i + A' + ck>) c; = - j^qj^ •

Pour déterminer G, G", G,, G",, il faut deux autres équations: elles seront fournies par les deux conditions de raccordement (zs) des deux bras, appliquées à v et à v{ au lieu de // et u. d'où en divisant par - ou — et par cos — ,

a Or x

{°6) DC (ë)0 + (fe)0 = ° • (C + Cl) + {C" + C"} = °

UIPDLSIOn CONTINUE PÉRIODIQUE. — BALANCIER LUC MACHINE. 551

K) »e (g ) - ( & ) = 0 , ,' (C - C.) - h' (C" - Cfl = 0 .

En combinant la somme des deux équations f/6). (/"',) avec celle (g5), on obtient immédiatement les valeurs de C + C,, C"-|-C"t. En combinant leur différence avec l'équation (g'6) on obtient C — (!., C" — C",; d'où, facilement, les quatre inconnues C. En les substituant dans (e6), (e'6i l'on a pour les premières partie », vl des inconnues u, ulf eu égard à ce que n = J~i

s __ 2tdr» cos ut \ Q — U) / . m , nz

[ V ~ nm {C + A') I 2 (c' + A') (C'A' - *'*') ^ A Sm "H" + * S 7

(he)

-^- — sin r sih \- (*' + /«') cos coli —

Dj^Ia même chose en mettant % pour :■ et donnant le signe — au premier des deux termes entre accolades.

Reste à calculer U, Ut. La règle générale pour obtenir ces sortes do secondes parties est simplement d'imposer aux sommes telles quer — I .', üj-hU, de satisfaire à toutes les équation* et conditions du problème, sauf, après les avoir posées, à en réduire l'expression en raison de ce à quoi les parties v, i\ satisfont déjà ; réduction qui ne modifiera, ici, que les conditions telles que En -r-j\ -f-2Q cos &><=(), en faisant simplement disparaître, comme on le désirait, leur terme affecté du temps. On aura ainsi

(avec la même chose en Uj et ;, ; et avec les conditions de raccordement (;5) ayant U, U, au heu de », u, ;

enfin avec les conditions initiales suivantes, puisque si l'on fait t = i) dans les (/i6) v, vv on a leur valeur pour cosw£ = i, et leurs dérivées en t nulles :

(ö)f = 0=<P(*)-(»)cos^=l, (B«)« = o=<PtW-(»i)cos-t = il Us)

On satisfera à la première ligne de (iG), les A,B,C étant des constantes, par

D — 7j ZT, oùT=A— -si

sm r d cos •

L = Cn sm ■ C. cos C, -m \- L- coli — :

C, + C3 = 0, — C„.s — de + Csä - C3Ä = 0, — C0c -{-C,s 4-C2A + C-h — 0 ;

d'où l'on peut tirer trois des coefficients C; comme multiples du quatrième ; et comme celui-ci se trouvera fondu dans les A,B de T, on peut l'abstraire et prendre en conséquence

(/6) Z = (1 +sh + ck) sin — + (1 — sh + cït) sih — -f (sk — ch) ( cos — — coh — ] •

La deuxième ligne de (/6) sera satisfaite par

Ui = 2 ^î^u ou \ = une expression comme (/6) avec zt au lieu de z.

Quant aux conditions de raccordement (zs) avec U et Ut pour u et Kâ, à remplir quel que soit le temps, comme la seconde sera

■srz) T = ( -are) T. et comme on trouve (t-r) = ^— ■ (sh — ch)( — 1 — 1) = ( ■srr ) >

il faudra qu'on ait

ou les mêmes coefficients A, B des termes en sin — , eus — dans Uj que

dans U.

La seconde condition de raccordement {^-) -h I-ôt 1 =*J revient, par

\6 2/0 \OZjo

une raison semblable, à 0=2 — (l-+-sh-i-ck-\- 1 — s&H-cfc), ce qui donne

en supprimant le facteur — ne fournissant qu'une racine ?» = 0 étrangère à

notre problème,

(m6) 1 + cos m coh m = 0.

C'est l'équation transcendante très simple donnée par Poisson, dans sa solution du problème des vibrations d'une barre libre aux deux bouts (*) et déjà trouvée par D. Bernouilli (**) et par Euler (***), qui sans s'occuper, comme Poisson, de leurs amplitudes et de comparer sous ce rapport celles de divers ordres qui se superposent, déterminaient surtout la durée ou le son fondamental de la vibration ayant la plus longue période.

C'est cette équation (m6) qui fournira, par ses racines en nombre infini,

les valeurs de m à mettre dans les termes successifs des séries V exprimant U et Ut (****)■

(*) Mécanique, 2L' édition, 1833, n° 521, équation (a), p. 377. [") Académie de Saint-Pétersbourg, volume de 1741-1745.

(***) Mcthodus inveniendi, etc Additamentum de curvis c/aatici<, 1744, q° 7Ü, p. 287.

(**") Comme cohm est toujours positif, les coswt ne peuvent être que négatifs, et les m

ne peuvent ôtre compris qu'entre 1 et -^ , ^ et-^» ^et -5- Nous avons trouvé