APPLICATIONS NUMÉRIQUES. IMPULSION BRUSQUE

Les coefficienls A, H du sinus et du cosinus de — devant satisfaire à

y BZ = (U)/s0, 2ÂZ= \~ ) ^auront, d'après les expressions générales (nt) du n° 9, B= f Z(tf)<lia0 <2q » A==/z(^7) «K} divisés par

JZ-dCJ, et d'après (/,), les valeurs:

/ r z i? w - ('')cos,/= ii <**+ f'"z. i?. (zo - kw= il **.

même dénominateur

Les deux parties du dénominateur sont égales et pourront être calculées d'après l'expression (1-) de Z.

Nous n'insisterons pas sur la solution, dont nous croyons avoir posé les bases, de ce problème complexe et délicat, solution qui, une fois développée, fournira la connaissance des plus grandes dilatations à contenir dans de justes limites, en réglant les dimensions de cet organe de mécanisme, soumis à des forces toujours variables, le faisant fléchir et vibrer alternativement dans deux sens opposés.

52. — Applications numériques des précédentes solutions rigoureuses de problèmes de résistance vive d'une barre élastique brusquement heurtée. — Courbes représentatives du mouvement des points de cette barre. — Nous prendrons pour exemple la barre appuyée aux deux bouts et heurtée au milieu, considérée au n° 6, et au n° 25 où on l'a envisagée dans des circonstances différentes.

Au n°6, où nous avons abstrait sa pesanteur (dont l'effet est souvent négligeable et est même nul si elle est heurtée horizontalement), il a été trouvé pour le déplacement transversal a à une distance z de l'extrémité immobile de chacune des deux moitiés de la barre prismatique d'une longueur 2a, d'un poids P, heurtée au milieu avec une vitesse V par un corps d'un poids Q, une expression (ex) où le premier terme du dénomina-

teur peut, d'après l'équation en m, être remplacé par ^ce qui donne, en

pour ces diverses valeurs

m =1,88638; 7,85475; 14,15717; 20,42035; 26,70354; 32,98672; 39,26991 ; 45,55509; ... d'où environ

2jct

On voit que les périodes — - des vibrations seront rapidement décroissantes d'un terme

de la série S au terme suivant.

554 CHAP. IV. — NOTE DU g 01. — IMPULSION TRANSVERSALE.

divisant par Vt= \\ / — — qui est une constante donnée,

(Pe)

. mz ., mz

sin — sili —

4 cos m coh m . t

sin m- ~

cos- m coli- m m- Q

Le signe V s'étendant à toutes les racines réelles et positives de l'équation

/sin m sih m\ 2P {(le)

cos /// coh ni / U

Comme u estime ligne, Vune vitesse, c'est-à-dire le quotient d'une ligne par un temps, et Tiin temps, les diverses valeurs du second membre de (7;6) sont

p des nombres qui, une fois calculés pour diverses grandeurs du rapport -'

donneront la suite des déplacements u des divers points de la barre pour des grandeurs quelconques de son poids P, de son élasticité de flexion El et de la vitesse V du corps qui l'aura heurtée.

Afin de résoudre l'équation en m, nous avons, par le calcul d'une suite de valeurs de m (tang m — tah m) pour des valeurs de m compri-

ses entre -7- et -, — et-^-, -7- et —,•••. détermine de premières approxima- 4 2 4 12 4 2

tions que la méthode naturelle et prompte d'approximations successives

nous a permis de resserrer; d'où ce tableau, où

)ll0, }Mn »l2, M/3, ...

sont les valeurs de m par ordre croissant de grandeur

Pour - très petit

Hl,

mô

mA

l!lo

5tt 4 P

4 +5uQ