V- ' Ku ' ^ab

nulle autre extension ou contraction n'est produite par là dans les

composantes de tension en fonction des six déformations t), g, auxquelles il substitue leurs valeurs exprimées par les neuf dérivées en x, y, z des déplacements u, v, w, supposés très petits.

Cette manière, due à Clebsch, d'établir les formules d'élasticité du cas de l'isotropie par^ faite, avec deux constantes, le module E et la fraction numérique n, au lieu des coefficients i, y., de Lamé, est élémentaire et fort ingénieuse. Mais, ainsi que nous l'avons déjà dit à la note de la fin du § 3, ces formules ne seront d'aucun usage pour les applications, excepté pour celle qui est faite §§ 18 et 19 aux déformations et aux vibrations d'une sphère qui. toutefois, aurait pu être supposée, aussi, d'élasticité différente dans le sens de ses rayons et dans les sens qui leur sont perpendiculaires.

(*) Voyez aussi la note de la fin du $ 37.

16 CHAP. I. FORMULES FOSDAMENTALES.

directions orthogonales a, b, c; mais les forces lhc déplacent les unes

relativement aux autres les couches ou tranches de l'ellipsoïde comprises entre des plans parallèles aux faces b c du parallélépipède; les forces tca déplacent de même, en les faisant glisser l'une devant l'autre, les couches parallèles aux faces ca, et les forces tab produisent un déplacement semblable des couches parallèles aux faces ab. La surface reste ellipsoïdale après ces divers changements. De plus, les points qui appartenaient à un axe principal du premier ellipsoïde sont restés les centres de tranches ou de coupes parallèles entre elles. Cela montre que les trois lignes résultant des ensembles de ces points, et qui, restées parallèles aux côtés du parallélépipède déformé, COmir TT 1Z

prennent entre elles des angles ^ — g > ~ — g > ~ — g > sont devenues des diamètres conjugués de l'ellipsoïde final.

On peut ainsi énoncer ce théorème :

Les points du corps qui formaient primitivement , par leur ensemble, une surface de sphère, forment, après leurs déplacements, la surface d'un ellipsoïde qui a trois diamètres conjugués parallèles aux côtés du parallélépipède déformé, et dont les longueurs sont entre elles comme

da, db, Dc désignant les proportions des allongements de ces trois côtés, par unité de longueur.

Or, il est facile de voir que la même transformation aurait lieu si chacune des dilatations <), au lieu d'être due à une tension exercée dans son seul sens, était produite par plusieurs ; et la même chose peut être dite des glissements. Le théorème énoncé, purement géométrique ou cinématique, et résultant de la seule loi de continuité, peut donc être appliqué à des corps de contexture continue quelconque, comme a fait Cauchy qui l'a donné le premier (*).

< 6. — Ellipsoïde d'élasticité (**) et surface directrice. Tension sur une surface quelconque en fonction des six composantes des tensions sur trois surfaces rectangulaires.

Il y a deux autres surfaces du second degré que celle des dilatations

(*) Ce dernier alinéa du § 5 est de nous. Voyez § 15 et noie du § 3».

'(**) On peut ajouter de Lamé : il a donné en eilet le premier, dans un mémoire de 1828 l'ait avec la collaboration de Clapeyron, cette surface du second degiv. Cauchy avait déjà donné la surface directrice et d'autres surlaces dont il tirait également l'existence des trois tensions principales.

§ 6. — ÉQUILIBRE DU TÉTRAÈDRE nK CAUCHY. 17

du s; 5. L'une est toujours un ellipsoïde, dont la construction donne immédiatement les tensions sur toutes les (aces se croisant en un point quelconque de l'intérieur d'un corps.

L'autre, appelée directrice, donne, par ses plans tangents, les directions de ces faces.

Concevons, pour les déterminer, un plan passant par un point quelconque du parallélépipède considéré et qui divise en deux parties le corps solide dont ce parallélépipède est un élément. Pour maintenir l'équilibre dans chaque partie, il faudra faire agir, sur ce plan de section, certaines tractions uniformément distribuées, dont la direction ne sera généralement pas perpendiculaire au plan. Comme ces tractions ne sont, évidemment, autre chose que les forces élastiques qui étaient exercées par la partie supposée retranchée sur celle dont on s'occupe, nous obtiendrons les forces élastiques de l'intérieur du corps en déterminant les tractions dont nous parlons, de manière que la partie restante soit maintenue en équilibre après qu'on aura retranché l'autre. Supposons que cette portion retranchée du petit prisme soit un tétraèdre, et figurons-nous, à cet effet, qu'on ait mené, par un point intérieur, trois axes coordonnés x, y, z, parallèles respectivement aux cotés a. 6, c de l'élément prismatique rectangle considéré. Désignons par

Pi (h r

les angles que la normale au plan de la section fait avec les axes, et par

CT, X., p

les angles que la traction s'exerçant sur ce même plan fait avec les mêmes axes. Soient T l'intensité inconnue de cette traction pour l'unité superficielle de la section opérée, et z la superficie de cette section. Alors, l'intensité de la force totale agissant sur la coupe sera T<j, et ses composantes, parallèles aux axes coordonnés, seront :

T<7 COS ct, T <x COS /., Ter COS p.

Les trois faces latérales du tétraèdre, qui sont des portions des faces du parallélépipède, ont pour grandeurs respectives, z cos p, z cos q, g cos r, projections de z sur les trois plans coordonnés des yz, de.szx et des xy; par conséquent, les forces qui y agissent, prises ensemble, sont les suivantes :

Dans la direction de l'axe des x : t. a cos p -(- t. cr cos q -+- L, er cos r (*) ;

[*j Les trois directions rectangulaires étant maintenant désignées par x, y, z, les indices a, b, c employés précédemment pour les t, les <), les g, sont naturellement remplacés par les indices x, y, z.

Dans celle de l'axe des y : t ? cos /; -+- t a cos q -+- 1 ? cos r ; Dans celle de l'axe des s : tx. n cos p -+- t a cos // H t„ <y cos r.

Les conditions pour que la traction T leur fasse équilibre sont, en supprimant le fadeur commun z,

| T cos m = ttx cos p -h t B COS q -+- 1:., cos r (2) T cos « = '.,.,, cos p-h 1 cos 7 -(- Lf/ cos r

( T cos p= tr. cos p-hl cos 7 H- t cos r (*)

Ces équations, avec la relation connue

COS 2 ct -h COS i y. H- cos 2 p = 1 ,

déterminent complètement la force T et la direction suivant laquelle elle agil, en sorte qu'on peut toujours trouver l'intensité T et la direction (w, ■/., p) de la tension que supporte une petite portion quelconque de surface plane imaginée n'importe où, et n'importe dans quelle direction déterminée par les angles p, q, r, à l'intérieur du corps qui éprouve, sur trois faces rectangulaires, en cet endroit, des tractions dont on connaît les six composantes, t , etc.

Mais pour pouvoir comparer entre elles les grandeurs ainsi que les directions de ces tensions ou tractions (**) s'exerçant sur divers plans qui passent par le même point, nous ferons usage d'une interprétation géométrique des équations (2) qui a été donnée, dans ce qu'elle a d'essentiel, par M. Lamé.

(') C'est le théorème dii du tétraèdre, Au à Cauchy comme celui (1 /'»de réciprocité des

composantes tangentiales, .le crois utile de l'énoncer ainsi en langage ordinaire: La tension intérieure sur an élément plan est la résultante des tension'; que supportent

les projections de cet élément sur trois plans rectangulaires menés au même endroit

du corps.

Ce théorème, ainsi que celui de réciprocité des tractions tangenlielles qu'exprime

t = t -, est applicable aux corps élastiques ou non élastiques, solides ou fluides, en repos

ou en mouvement, même lorsque toutes leurs molécules reçoivent l'action de forcés qui émanent de points extérieurs, comme l'ail la pesanteur. En ef'let, ce que fournissent ces forces, ainsi que les inerties, dans les équations d'équilibre, de translation ou de rotation des très petits éléments, en forme soit de prisme soit de tétraèdre, est ti è< petit de troisième ordre comme le volume, et négligeable devant les tensions qui s'exercent sur leurs laces et qui ne sont petites que du second ordre comme leurs superficies, ainsi qu'il sera dit au § 12.

(") C'est une heureuse innovation de Clebsch, que d'appeler ces forces ou résultantes d'actions moléculaires tensions ou trac/ions et non pas pressions, comme ont fait les autres auteurs ; car tous, avec lui. affectent du signe + celles qui sont attractives, ou qui tendent 11 rapprocher les deux parlies du corps que sépare la face considérée, ct du signe — celles qui sont répulsives ou qui tendent à les éloigner, c'est-à-dire les pressions proprement dites, comme cellps qui s'exercent dans les fluides (hors des petits espaces où les forces capillaires dominent). Au lieu de la notation t , t , t , t , t , t qui m'a été indiquée

xx ijn i& //: ut xii par Coriolis et que Cauchy avait finalement adoptée, Clebsch emploie la notation t , t.,,, t

'»' l%; '-.i 9ucJe ,T"IS moins claire.

§ (». — SURFACE DIRECTRICE JiKS TENSIONS. 19

Si l'on résout ces équations (2)par rapport aux variables cos />, cos q, cos r, et si l'on désigne par A le dénominateur commun des valeurs qu'on en tire, c'est-à-dire si l'on pose

(2 «) a = lxx tyg tM H- 2 tyz lzj. t ,;/ - 1 ,.,. t^ -lyy lir - tZ3 ^

et si l'on désigne de même par A (, A les expressions suivantes :

(2&) V^-1«-1*' ^, = ^V.-tW*«

l'on obtient les solutions des trois équations du premier degré (2) sous la forme suivante :

. A COS J) = T (\ri. COS ft '- A COS y. -+- At . cos a )

(.") A COS (j = T (Ay//. COS n {- Aj/y COS * -h A//; COS p )

/ A COS r = T (A.,. COS rr H- A. COS v. -+- A„ COS p )

Considérons maintenant la surface du second ordre représentée par l'équation suivante, où k est une constante arbitraire :

cette surface ayant son centre au point que l'on considère pris pour origine des coordonnées x, y, z. Cherchons l'endroit où cette surface est rencontrée par la droite suivant laquelle agit la traction T et qui part de ce centre. 11 est clair, d'abord, d'après la signitication de ct, y., p, qu'en cet endroit, ou pour ce point de rencontre, on a :

x : y : z = cos n : cos •/. : cos p.

11 en résulte que cos p, cos 7, cos r, qui font connailie pour le point x, t/, z, la direction de la normale au plan de coupe, ou à la face oblique du tétraèdre sur laquelle agit la traction T, sont entre eux comme les trois quotients différentiels du premier membre de l'équation (4) de la surface, pris respectivement par rapport à x^ y, z, (*), et

(*) En effet, ces trois quotients différentiels: 2/ A ■«■-,- A y -\- à z\; 2 (d x

~*~ *>jn'J + V3 ) ; ' { A:/ + Avy n'~ A«a ') sont bien' daPrès -r : y '■ z — C0S w : C0S K :

cos p proporlionnels aux seconds menibies des équations (.") el par conséquent à cos p, cos 9, cos /•, respectivement.

que, par conséquent, le plan langent à celte surface au point x, y, z, est parallèle au plan de la section qui supporte une traction dirigée suivant la droite allant du centre à ce pointa?, //, ;•, ou qu'en d'autres termes :

A chaque plan, mené par un point donné, répond, comme direction, de la tension élastique qu'il supporte, celle du diamètre de la surface du second degré (4) qui est conjugué à ce plan regardé comme diamétral, ou, ce qui revient au même, la direction du rayon vecteur meneau point oh la surface (4) a son plan tangent parallèle au même plan donné.

C'est la surface appelée, pour cetle raison, surface directrice, et qui, comme on va le voir, est tantôt un ellipsoïde, tanlôt un hyper- Itoloïde.

Si maintenant, sur cette direction du diamètre conjugué à l'élément plan, on porte la grandeur môme de la traction T, et si l'on fait la môme chose pour tous les ôlémenls plans qui se coupent au centre de la surface (4), on obtient une aulre surface dont les rayons vecteurs représentent les forces élastiques en grandeur et en direction. Ce n'est loutefois qu'à l'aide de la surface (4) qu'elle peut donner les relations que l'on se propose de déterminer, car tout rayon vecteur de la nouvelle surface donne la direction et la grandeur de la tension supportée par le plan conjugué à la direction de ce rayon par rapport à la surface (4).

La nouvelle surface est V ellipsoïde d'élasticité. C'est en effet toujours un ellipsoïde, tandis que l'équation du second degré (4) n'en représenlc pas toujours un.

On obtient l'équation de cette nouvelle surface en remarquant que relui de ses points dont le rayon fait avec les axes les angles p,q, r, a pour coordonnées

* T cos p, ?/ — Tcosr/, 2==Tcosr;

d'où l'on déduit, en substituant dans les équations (5) et en ajoutant leurs carrés, l'équation suivante de la nouvelle surface :

Il n'y a plus, dans cette équation, d'autres variables que #, //, z. La surface qu'elle représente a, comme celle (4), son centre à l'origine, et le premier membre de son équation (5) étant nécessairement tou-