ELLIPSOÏDE D'ÉLASTICITÉ. TENSIONS PRINCIPALES
jours positif, ses coordonnées, x, y, z, ne peuvent devenir infinies ; c'est donc, comme nous l'avons dit. un ellipsoïde. D'où ce théorème :
Si l'on prend un point à l'intérieur d'un corps, et si Von considère comme rayons vecteurs d'une surface les droites meures pur ce point et représentant en grandeur et en direction les tractions qui s exercent sur l'unité superficielle de tous les plans qui y passent, cette surface est T ellipsoïde (5).
£7. — Tensions ou tractions principales. Axes principaux de l'ellipsoïde d'élasticité Formules déterminant leurs directions et leurs grandeurs.
Il y a toujours certaines directions suivant Lesquelles la traction est perpendiculaire au plan sur lequel elle s'exerce. Pour les trouver, on n'a qu'à faire, dans les égalités (2), les angles o, •/.. p respectivement égaux à p, q, r. Ces égalités deviennent alors
( ( '.,£ — T ) cos p -+- 1 cos q H- ! c. cos /• = ft
(fi) | t (.(/ cos p + ( t^ - T j cos q + tys cos r = 0
( | ri cos p -+- t cos q -+- (t.. — f ) cos r == (I
Elles contiennent, outre les rapports mutuels de cos p, cos q, cos r, la grandeur inconnue T de la traction sur l'unité superficielle de la surface dont la normale fait les angles/), q, r avec les x, y, :•. Si l'on élimine entreelles les rapports des cosinus, on a en T, l'équation suivante, dont nous désignerons le premier membre par 0 :
0 = (^-T) l^-T) (Ui-T)-2t^^-(>,,-T) t*
-(^-'nt:,-(t.-T)l;(/-0
Cette équation, du troisième degré, a toujours ses trois racines réelles, comme on le montrera tout à l'heure. D'où cette conclusion :
Dans le corps, au point quelconque que l'on y considère, il y a toujours trois plans auxquels sont perpendiculaires les tractions qui s'exercent sur eux. Ces forces ont pour .intensités les trois racines de l'équation
ou (7).
Pour trouver les directions des ces trois plans, remarquons que si la valeur de T, qui entre dans les équations (6) est supposée satisfaire
CHAI'. I. — FûliMI J.ES 10NJ>AMKNTALKS.
à l'équation (7), l'une quelconque des Ii ois équations (6) rentre dans les deux autres, en sorte qu'elles se réduisent à deux. En laissant de côté successivement la première, la seconde et la troisième de ces équations '(3) on obtient, sous les trois formes suivantes, les rapports inuiuels des cosinus.
[ta)
cos i> : cos q : cos r =
-(t — T)(l — T)-l-.:i l. — t il — Tj:1 l — t.(t — Ti ',/; k-^y (i»-T): (t, -T) (t, . -Ti-i-;,: i:, \nj- tvt (tM-T) rWV.-Ui, -T): tzjXIJ- iIJ: (W-T) : (t„.-T)(^ T)-t^
On remarque immédiatement que les neuf binômes que renferment ces égalités sont les mêmes, trois à trois, dans les trois dernières lignes horizontales que dans les trois colonnes verticales qu'offre leur ensemble synoptique; en sorte que ces trois colonnes verticales représentent, aussi bien que les trois lignes horizontales, les rapports mutuels de cos p, cos q, cos r. On en déduit facilement que les six binômes contenus dans ces lignes sont proportionnels aux trois carrés et aux trois produits deux à deux des cosinus ; ou en d'autres termes qu'il y a toujours un nombre
tel que l'on ait
m cos - p
(1 v yy
T)(tî;-T)-I^
m cos i q
T) {txt— T) — t*T
m cos *■ r :
r,,)(iw-T)-i
cos q cos r —
cos r cos p
ni
cos /; cos q
tsc
- fr, (txz - T)
Ces égalités fournissent la détermination la plus simple et la plus évidente des cosinus en question. La valeur du facteur m se trouve en additionnant les trois premières de ces égalités, et en observant que la somme des carrés des trois cosinus est égale à I. On a ainsi
w=(tw~T)(t^-T)+(t3-T)(t^-T)H-(t^~T)(t^-T)-t^^-t»
(') Car en mettant les premiers membres des six égalités (8) à la place des binômes qui forment leurs seconds membres, dans les équations triples (7 a) que l'on vient de trouver pour les rapports mutuels de cos p, cos q, cos r, celles-ci sonl identiquement satisfaites.
