COS
'(tw-T)(t„-T)-t;/5
de d'Y
\™i = \/- —air
cos /"
de
Les signes des radicaux doivent être choisis tels que les expressions fournies par les équations (8) satisfassent encore aux autres équations, condition qui les détermine tous, hors un. Cette indétermination qui fait que les cosinus peuvent être pris, tantôt avec certains signes, tantôt avec des signes opposés, pourvu que ce soit tous ensemble, est indifférente, au demeurant. Elle revient à ce que la normale à une surface peut être tirée aussi bien d'un de ses deux côtés que de l'autre.
Il faut montrer maintenant comment les trois directions pour lesquelles la traction agit perpendiculairement aux faces à travers lesquelles elle s'exerce sont placées l'une par rapport à l'autre, et prouver que ce sont celles des axes principaux communs à l'ellipsoïde d'élasticité (5) et à la surface directrice (4). Désignons, dans ce but, par T', T" deux racines de l'équation (7) et par p'. q' , r' ; p", q" , r" les systèmes correspondants des valeurs des angles p, q, r. Si dans les équations (6) on remplace p, q, r, par p', q\ r' et si l'on additionne ces équations après les avoir multipliées respectivement par cos p", cos q", cos r", on obtient
T'(eos//cos//' + cos q'cosq"-\- cos r' cos r") = = lrx cos/;' cos//' -h t (cos q' cos r" -+- cos r' cos q") -+- -h t cos q' cos q" -+- 1. B (cos r' cos p" -\- cos p' cos r") -+- + t.. cos r' cosr"-(-t (cos // cos q" -h cos q" cos//').
Le second membre de celte dernière équation ne change pas si l'on y change les lettres accentuées une fois contre les lettres accentuées deux fois et réciproquement. La même chose doit donc avoir lieu pour le premier membre. Or, sou second fadeur ne change pas non plus : mais le premier facteur T' devient T". Si donc on n'a pas T' === T", il faut nécessairement qu'on ail
(10) cos// cos p" -h cos q' cos q" -+- cos /•' cos r"= 0. •
Celle égalité exprime que
Deux quelconques des trois directions des tractions qui sont perpendiculaires aux plans sur lesquels elles s'exercent doivent être aussi perpendiculaires Vune à Vautre, si les racines correspondantes de Véquation (7) sont inégales.
Si donc les trois tractions sont inégales, ces trois directions de traclions forment trois lignes à angles droits l'une sur l'autre. On peut prendre ces lignes pour les axes de nouvelles coordonnées. Si l'on désigne ces trois nouvelles coordonnées, dans les directions des trois tractions, T', T", T", par X, 1", Z, et si l'on appelle aussi;/", q'", r'", les angles correspondant à la troisième direction, on aura, parla transformation des coordonnées (ou par le théorème de l'égalité des deux projections, sur une droite quelconque, d'un chemin polygonal et du chemin direct qui va de son point de départ à son point d'arrivée) les formules
X — '• cos // --)- y cos q' -\- z cos r', Y — x cosp" H- ij cos q" -f- z cos r", Z = x cos p"'~\- y cos q'"-j- z cos r"'.
Il est maintenant facile de voir quelles expressions on obtient si on introduit ces nouvelles coordonnées dans les équations des surfaces (4) cl (5).
On peut évidemment, en effet, se représenter aussi bien le parallélépipède solide limité par trois paires quelconques de faces planes perpendiculaires l'une à l'autre que par ses faces primitives, en supposant d'avance, seulement, que l'on fera agir sur ces nouvelles faces les tractions qui répondent à leur direction dans le même corps. L'état intérieur de ce corps n'est nullement changé par là : d'où il suit que les surfaces (4) et (5) qui ne dépendent que des rapports mutuels des tensions intérieures ne sont pas changées non plus. Et comme on a trouvé, ci-dessus, trois directions pour les faces auxquelles sont per-
§ 7. — ellipsoïde et surface directrice. 9.5
pendiculaires les tractions intérieures qui s'y exercent, on peut toujours, du parallélépipède donné, extraire un autre parallélépipède qui
n'a besoin que de tractions normales à ses faces pour être maintenu dans ^équilibre antérieurement établi. Prenons trois de ses six. faces pour plans coordonnés, et posons, pour les coordonnées nouvelles qui s'y rapportent, les équations (4) et (5). Nous n'aurons, d'après ce qui précède, qu'à mettre, dans celles-ci, les coordonnées et les tensions ou tractions nouvelles, au lieu des anciennes. Par conséquent, à la pince de [xx, iy,j, iSi , nous mettrons T', T", V" et nous annulerons ty», t:i, t.,7/ ce qui donnera, d'après (2a) et (26),
pour A//:. . .
Pour A . . .
un
pour A«.. •
Pour A-^. . .
pour A^. • •
Pour a, . . . . T' T" T"',
moyennant quoi, les équations des surfaces (4) et (5), rapportées aux axes principaux, se présentent sous la forme suivante :
( ïu) T, h- ;p -h ;p = k (surface directrice).
(5 a) ',-„ -h T„, + ,y„, , = 1. (ellipsoïde d'élasticité).
Les tensions principales T, T", T'", sont, comme l'on voit, les demiaxes principaux de l'ellipsoïde d'élasticité (5 a). Ceux de l'autre surface (4 a) sont proportionnels aux racines carrées de ces grandeurs, si toutefois cette dernière surface est un ellipsoïde; mais il est évident que cette condition n'est remplie, quand on regarde k comme une constante positive, que si les tensions principales sont toutes trois positives; si l'une d'elles devient négative, ou se change en une pression, la surface (4a) est un hyperboloïde à une nappe; elle est un hyperboloïde à deux nappes, si deux des mêmes tensions deviennent des presions ; enfin, avec trois pressions, la surface (4 a) devient imaginaire. Au contraire, si on regarde k comme négatif, on a un ellipsoïde avec trois pressions, un hyperboloïde à une ou à deux nappes, selon qu'une ou deux de ces pressions se changent en tractions, et une surface imaginaire pour trois tractions. Ainsi, par un choix convenable du signe de la constante k, on a, pour celte surface (4 a), un ellipsoïde si les trois forces s'exerçant sur les trois faces principales sont de
26 CIIAP. I. — FORMULES FONDAMENTALES.
même sens, el un hyperboloïdc, si elles sont de sens différents (*), Au resle, l'équation (10) prouve, comme nous l'avions admis, que toutes les racines de l'équation du 5e degré (7) sont réelles. En effet, si deux racines T et T" de cette équation en T étaient deux imaginaires conjuguées, il en serait de même des groupes cos p' et cos p", cos (( et cos 7", cos r' et cos r" de valeurs correspondantes de cos p, cos q, et cos r. Or le produit de deux imaginaires conjuguées a -h b y/ — 1, a — b y/ 1 est égal à la somme a3 + b- de deux carrés. Si donc T' et T" étaient deux quantités de cette sorte, l'équation (10), qui a zéro pour second membre, aurait pour premier membre la somme de six carrés réels. Une pareille équation étant impossible, il est impossible aussi que l'équation du 5e degré (7), dont nous nous occupons, ait des racines imaginaires.
; 8 — Cas où l'ellipsoïde d'élasticité devient une surface de révolution. — Cas où il devient une sphère.
Lorsque deux racines d'une équation sont égales, on sait que leur substitution annule non seulement le premier membre de cette équation, dont le second membre est supposé zéro, mais encore son quotient différentiel par rapport à l'inconnue. Soient donc deux racines, T', T" de l'équation 0= 0 égales entre elles; elles annulent
-ps et par conséquent aussi, d'après (8«) le facteur m des équations
(8). Les premiers membres de ces équations s'annulant, on voit que si T désigne cette double racine, les rapports désignés dans les trois séries suivantes sont égaux chacun à chacun.
(ii;
(') Cauchy, (fui a découvert la surface (4) (que nous avons appelée directrice, d'après quelques auteurs), donne au second nombre A A le double signe et le réduite ± 1. Il a ainsi un ellipsoïde ou deux hyperboloïdcs conjugués, au moyen desquels toutes les tensions, tant positives que négatives, s'exerçant à travers les divers plans, se trouvent représentées.
Au reste, l'étude des surfaces d'élasticité donnant les tensions ou pressions n'est plus regardée comme aussi intéressante, depuis que l'on a fait l'observation, renouvelée de Mariotle, et sur laquelle l'oncclet a insisté, que ce ne sont pas ces forces intérieures, mais les dilatations qu'elles produisent, qu'il faut limiter pour assurer la stabilité de la cobésion des solides, et écarter le danger dos énervations ou des ruptures. Voyez l'édition annotée de ISavier, 1X04, n° M, IV de l'historique, page ce et pages cciij, X, 781. Voyez aussi le commencement de la note mise à la lin du £ 7» 7 ci-après.
: Kx
: hy
