DEUX TENSIONS PRINCIPALES ÉGALES

Il en résulte pour les grandeurs txx t^, certaines conditions

ou relations qu'il n'est pas nécessaire de mettre ici en lumière. Mais on voit que les égalités de ces rapports réduisent les équations (6) à une seule. Par conséquent, cos />, cos q, cos r, ne sunt plus complètement détenu ii es. En d'autres termes, les directions des tractions principales égales entre elles, ne sont plus soumises qu'à une seule condition, qui ne peut être que celle-ci : d'être perpendiculaires à la troisième traction principale, qui ne leur est pas égale. Les surfaces du second degré (4) et (5) sont alors de révolution, attendu que deux de leurs trois axes de figure deviennent égaux : l'axe de révolution a pour direction celle de la tension principale qui n'est pas égale aux deux autres; et les deux autres axes de figure, situés dans un plan perpendiculaire à celui-là, n'y ont aucune direction déterminée. Le problème relatif à ce cas se réduit à trouver la direction et la grandeur d'une traction principale T', et la grandeur que nous appellerons T des deux autres T" = T" qui sont devenues égales. Et l'on peut, sans plus de détails, le résoudre comme il suit :

Déterminons trois angles //, r/', ?•', et un facteur m' satisfaisant aux équations suivantes.

m cos q' cos r' = tt

m' cos r' cos p' = t.

/ m' cos p' cos q - t(

12) m' cos r' cos p' -= t.

Cette détermination s'opère facilement en multipliant ensemble deux de ces équations et divisant par la troisième, ce qui donne

cos p

(15) ' «'os q' = 4 / J*-J*.

cos r

Et, comme la somme des carrés des cosinus doit être égale à 1,

'//:- ';.,■ \nj

Les signes des radicaux produisent, encore ici, plusieurs combinai-

sons; mais il ne peut y en avoir qu'une (ou deux, dont l'une ne diffère

de l'autre que par le changement de tous les signes à la fois) qui

satisfasse aux équations (12). Les équations (11) donnent, en tous

cas,

I — T = m' cos2 p' =

[14) - lyy 1- T-= m' cos8 q'

l t.. — T = m! cos2 r'

iß *

On en déduit la valeur de T qui doit être la même, quelle que soit celle des trois équations dont on la tire. Et comme les équations (6),

lorsqu'on y met pour tcr — T, txu, t:i leurs valeurs fournies

par (12) et par (14) en effaçant ensuite tous les facteurs communs, se changent l'une comme l'autre en

cos p' cos p -+- cos q' cos q -h cos r' cos r == 0 ,

on voit, sans chercher à en tirer rien de plus, que les valeurs de cos p', cos q', cos r', telles qu'elles viennent d'être données, fournissent la direction de la traction principale T', celle qui n'est égale à aucune des deux autres.

La double racine T" = T"' de l'équation du 5e degré (7), étant déjà donnée par la valeur T, tirée de (14), il ne reste plus à déterminer que la grandeur de T'. Que, pour cela, l'on mette, dans les équations (0), p', q', r', à la place dep, q, r, et par conséquent aussi T' à la place de T, qu'ensuite on remplace txx, lw, t. par leurs valeurs en T, m', p', q', r', fournies par les équations (14) et t,/;, t.T, tx„ par celles que l'on tire des équations (15) multipliées deux à deux l'une par l'autre, chacune des équations (6) se change en celle-ci :

T — T' -f m' = 0 ou

Les formules (13), (1 i), (15) fournissent la solution complète de ce problème.

Enfin, s'il y ;i, dans le cas que nous venons de considérer, un nombre infini de plans sur lesquels la traction s'exerce perpendiculairement, savoir, avec celui qui est perpendiculaire à T', tous ceux qui posent par T' et auxquels correspond la traction T: on voit que dans

Kg. — TENSIONS TOUTES NORMALES ET ÉGALES. — 1*

le cas plus particulier où toutes les tractions sont égales, les plans sur lesquels elles agissent perpendiculairement ont toutes les directions possibles. Les surfaces (4) et (5) deviennent des sphères, et l'on a T = T" = !"'. Dans ce cas, les équations (4) et (5) doivent, dans leur forme première, ou avant d'être transformées en (4a) et (5 a), représenter des sphères. En d'autres termes, les composantes tangentielles des tractions, \ti, t;r, l,r doivent être nulles, et les composantes normales t,rr, I,,,,, t.. doivent être égales entres elles. Cet état n'existe dans un corps élastique que lorsque toutes ses faces extérieures sont tirées ou poussées par des forces d'égale intensité sur l'unité superficielle, et dirigées normalement à ces faces.

£ 9. — L'ellipsoïde d'élasticité, et la surface directrice exprimées en coordonnées de plans. — Cas-limites de ces surfaces.

Le vrai caractère des surfaces (4) et (5) ne ressort d'une manière manifeste, particulièrement pour certains cas-limites que nous examinerons tout à l'heure, que lorsqu'on représente ces surfaces, non plus par des coordonnées de points, mais par des coordonnées de plans; c'est-à-dire lorsqu'on exprime les conditions que remplissent, les unes par rapport aux autres, les intersections de leurs plans tangents avec les axes coordonnés.

Si l'on écrit l'équation d'un plan sous celte forme :

(16) ux-hvy-hwz-hl=0,

les coefficients u, v, w des coordonnées x, y, z de ses points, peuvent être appelés les coordonnées du plan. On obtient les intersections de ce plan avec les axes, en annulant deux à deux les grandeurs x, y, z, et en calculant la troisième. Les dislances de ces intersections à l'origine sont ainsi

Il V \v

ce qui donne la signification géométrique de u, v, w.

Or, comme le plan tangent à une surface f= o, en un point particulier ( je, y, z) est représenté par la formule suivante où x, y, z sont les coordonnées courantes de ses divers points :

§£(, -•«) + g(T ir,+JL (,<, = ,-.

il faut, pour que l'équation (16) représente ce plan langent, que l'on ait, 2X désignant un facteur indéterminé,

£i=a Xv

et, en outre, comme le point de contact doit se trouver sur le plan (16). on doit avoir

(18) ux-{- \y-\- w :• H- 1 = 0.

En éliminant x, y, z et 2 X entre (17), (18), et l'équation de la surface en coordonnées ordinaires représentées par x, y, s, il reste une équation en u, v, w, qui est ce que nous appelons Véquationde la surface en coordonnées de plans.

Si l'on en fait l'application à la surface directrice (4)

(A) a,.,, x* 4- \l(l I)1 H- A3Î s9 4- 2 A,/; yz + 2 AM « H- 2 A,.,, afy == kA, les équations (17) donnent le système :

i Aw # -h A // H- A, . :■ = X u

(19) V*+Vv + V2 = Xv

Si l'on additionne ces équations (19) après les avoir multipliées respectivement par x, ?/, z; le premier membre donne /> A, à cause de l'équation (4), et le second membre donne — X à cause de l'équation (18); en sorte que

On obtient évidemment aussi les équations (19) des équations (3) du § 6:

A cos p T (Arr COS GJ H- A COS X ; A(. COS p)

si l'on met, dans celles-ci, x, //, ; à la place de T cos <,> , T cos •/.,