A^M + A^N + 4^P = AY

( A., M H- A NH-A„P = ).W

où l'on a fuit, pour abréger.

52 CHAP. I. — FORMULES FOISDAMENTALES.

de manière que L'équation (5) de la surface puisse être écrite (21) M8 4- N8 4- P8 = A2.

Si l'on additionne les équations (20) après les avoir multipliées respectivement par x, y, z, on obtient, eu égard à (21 ) et à (18),

et, en comparant Icî équations (20) avec celles du système (3), puis revenant de celles-ci à celles du système (2), ce qui conduit à mettre dans ces dernières M, N, P, au lieu de T cos tt>, T cos ■/., T cos p, et — Au, — Av, — A w au lieu de cosp, cos.ry, cos r, on trouve pour ce système (2), de la résolution duquel le système (20) peut être considéré comme déduit,

Mz=A(t,.,.u M.,;v \-tX3 w) ,

N = - A (V u J" ln v +" V w) '

P = — A (*« U '- hy V !" t,, W) •

Et si l'on substitue enfin ces valeurs de M, N, P dans l'équation (21), on obtient sous la forme simple qui suit, l'équation de l'ellipsoïde d'élasticité, en coordonnées de plans :

(5 b) 1 = (t„ u +- lxy v -+- 1,; w)8 4- (t!/x u + tyy v 4- t,:. w)8 4- 4- (t.,. u 4- t:;/ v + t.. w)2.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, pour obtenir les équations des deux surfaces rapportées à leurs axes principaux, il suffit d'annuler les trois composantes tyz, t:„ ïXIJ, et de remplacer ixx, tw, t.. par T, T", T". Si donc on désigne par U, V, W, les coordonnées de plans dans le -système des axes principaux, les équations des surfaces (4) et (5), ou (4a) et (5 a) rapportées à ces axes, et exprimées au moyen de ces coordonnées, sont

(5 c) T'2U84-T"SVS4-T"'8W8 I .

Ces formes sont très importantes pour faciliter les recherches relatives aux cas-limites, dans lesquels une ou plusieurs racines de l'équation du troisième degré cnT disparaissent.