SURFACES EH COORDONNÉES DE PLANS

Ainsi lorsque V" = Ü, les équations (4 c) et (5 c) se réduisent à

ttd) n- +T" Vs = i;

,:,,/> T/iUî+T,,8Va = l.

Cherchons ce que signifient ces dernières équations. Elles sunt indépendantes de W, c'est-à-dire que si l'une des surfaces (4ci) et (5rf) est touchée par un plan déterminé, elle l'est aussi par tous les plans qui rencontrent, aux mêmes points que celui-ci, l'axe des X et l'axe des V. Tous ces plans se coupent suivant une droite tracée dans le plan des XV; les surfaces (Ad) et (5d) sont, par conséquent, définies par de simples courbes, tracées dans ce même plan. Ces courbes sont évidemment les mêmes que celles suivant lesquelles les surfaces lïc) et (5c) sont touchées parles plans pour lesquels W = 0; car en faisant W=0, les équations (4c) et (5c) se changent en (4d) el (5rf).

Or ces plans, qui rencontrent l'axe des Z à l'infini constituent ensemble les cylindres tangents (*) aux deux surfaces, et dont les arefr'S sont parallèles à cet axe : et la courbe de contact de chacun de ces cylindres est la coupe de chacune des surfaces (4c), (5c) parle plan XV. L'équation (5d) représente donc l'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde d'élasticité par le plan XV, savoir, une ellipse dont les demi-axes sont T'etT"; l'équalion (4d), au contraire, représente une ellipse ou une hyperbole, selon que T' et T" ont le même signe ou des signes opposés.

Si donc une des trois tensions principales est égale à zéro, les directions des tensions s'exerçant sur fous les plans possibles menés par un même point se trouvent dans un seul et même plan ; et, de plus, sur tous les plans qui passent par une même droite fracée dans celuici, la traction ou tension par unité superficielle est la même en grandeur et en direction. Si, dans ce même plan, on fait tourner autour d'un point la droite dont nous parlons, l'extrémité de la ligne qui représente la grandeur et la direction de la tension correspondante décrit une ellipse. C'est ce qui a lieu, par exemple, si le parallélépipède solide considéré est sollicité, seulement sur deux paires de faces, par des actions normales aux quatre faces qui forment ces paires, et n'est ni pressé, ni tiré sur les faces de la troisième paire.

Si, enfin, deux racines de l'équation du 5" degré (7) sont égales à

(') L'auteur emploie l'expression Berührungskegel, cône longent; mais comme il parle d'un cône dont le sommet es! à l'infini, on a traduit par cylindre.

54 CHAP. 1. — FOHMÜLES FONDAMENTALES.

zéro, en sorte que T" disparaisse en môme temps que T'", les équations des deux surfaces deviennent

(4 e) rü" = i

Chacune de ces équations représente deux points isolés qui se trouvent sur l'axe principal X, de chaque cote |de l'origine, aux dislances

± \/ kT . pour la première ,

e^ ± T pour la seconde.

En effet, tous les plans] qui satisfont a l'équation (4e) rencontrent l'axe des X en un point situé à une distance \JkV de l'origine ou à une distance— \lkV\ mais ils ne sont soumis à aucune autre condition. De même, tous les plans relatifs à l'équation (he) doivent rencontrer l'axe des X en des points situés à des distances ± T' de l'origine, sans être soumis à aucune autre condition. Alors donc la traction ou tensions pour tous les plans sur lesquels elle agit, a la mémo grandeur et la même direction. C'est ce qui arrive lorsque, par exemple, deux faces opposées du parallélépipède sont soumises à des forces qui les sollicitent normalement, les autres faces n'étant soumises à aucune action.

y io. — Directions conjuguées des tensions agissant sur trois faces orthogonales quelconques.

Je vais terminer ces considérations géométriques sur l'ellipsoïde d'élasticité, eu établissant un théorème qui manifeste l'existence des directions des tensions principales, comme un] cas particulier d'une proposition plus générale.

Revenons aux équations (3) du $ C, A cos ^ = T (A cos ^ -h ....) que nous avons obtenues en résolvant les trois équations du premier degré (2) Tcos ts=ïxx cosp-t- .... et qui donnent les angles y;, q, r, formés avec les axes coordonnés par la normale au plan sur lequel a<rit une traction T supposée faire les angles m, ■/., p avec les mêmes axes. Les directions des tractions ou tensions qui agissent sur les faces mêmes de l'élémenl parallélépipède ayant ses côtés parallèles aux ./-, y, 2, ou Les valeurs des angles©, •/, p qu'elles forment avec ces mêmes axes peuvent être obtenues des équations (3), même§, en fai-