DIRECTIONS CONJUGUÉES DES TENSIONS

santdeux à deux égales à zéro les quantités cos/;, cosry, cos r. Ainsi, les directions, ou les angles o, x, p, satisfont toujours à deux des équations

A,.,. COS ET -h Aa/ COS y. -h &x3 COS p = 0 ,

V cos CT H- Aw cos x. ■+■ a//; cos p = 0 ,

A;;. COS m 4- A;j/ COS se' + A.. COS p = 0 .

Mais les cosinus de cr, *, p ont entre eux les mêmes rapports que les coordonnées x, t/, z du point de la surface directrice dont le rayon vecteur donne la direction de la tension déterminée par ces angles cr, x, p. Ces directions des tensions sont celles des intersections deux à deux des trois plans

r \rr\ 4- An/ Y 4- A,.. Z = 0,

(22) VX+.VY + VZ = 0>

( A.(. X + A;// Y 4- bzz Z = 0.

Si maintenant, par les extrémités des trois rayons vecteurs dirigés suivant ces intersections, nous menons des plans tangents à la surface directrice, et si nous avons égard à ce que deux des trois expressions suivantes s'annulent constamment, ensemble :

A x + A « 4- A xx xy J ' x

nous obtenons, en effaçant les facteurs communs à tous les termes les équations qui suivent, pour celles de ces plans tangents :

Ai(. (X - .r) 4- A;// (Y — y) + A;: (Z — z) =0.

Comme dans ces équations les coefficients de X, Y, Z sont exactement les mêmes que dans les équations (22), nous voyons que les plans tangents à la surface directrice, à chacune des extrémités des trois rayons vecteurs, sont parallèles aux plans déterminés par les deux autres rayons, ou en d'autres termes, que ces rayons sont trois demidiamètres conjugués de la surface directrice.

Mais, ainsi qu'on l'a déjà observé, on peut se figurer le parallélépipède limité par trois autres paires quelconques de faces orthogonales.

Sur ces nouvelles faces, les tractions seront encore, d'après les mêmes considérations, trois demi-diamètres conjugués de la surface directrice. D'où ce théorème :

Les directions des tensions supportées par trois plans quelconques perpendiculaires V un à Vautre sont celles de trois diamètres conjugues de la surface directrice de ces tènsio)is intérieures.

I 11. — Corps cristallins, ou, plus généralement, corps hétérotropes. Expressions les plus générales de leurs tensions intérieures en fonction des six déformations élémentaires en chaque endroit.

Cherchons quelles modifications il faut faire subir à ce qui a été dit aux gg 2 et 3 et. au commencement du § 4, lorsque le parallélépipède solide dont on s'occupe cesse de posséder la même structure dans toutes les directions, c'est-à-dire s'il passe à cet état que l'on désigne sous le nom de cristallin (*).

La manière la plus simple de caractériser cet état d'un corps consiste jx dire qu'il s'y trouve certaines directions dans lesquelles les couches parallèles se déplacent les unes devant les autres avec une facilité plus grande que dans d'autres, et certaines directions, aussi, pour lesquelles le corps offre à l'extension et à la compression moins de résistance que pour d'autres. Mais ce n'est pas seulement dans les matières réellement cristallisées que se rencontrent les inégalités dont nous parlons; on les trouve aussi, et même plus souvent, dans des substances non cristallisées et qui ont été longtemps exposées à certaines influences agissant constamment dans le même sens (**).

Imaginons donc, dans un bloc d'une pareille matière, un parallélépipède dont les faces sont sollicitées par des forces de grandeur et de direction quelconques, mais également réparties sur chaque face, et possédant, sur les faces parallèles et opposées, des grandeurs égales et des directions contraires.

Le cas le plus simple sérail celui où les systèmes de couches dont

(')Nous avons déjà dit que celle expression est impropre. Celle de non isotrope oud'Aeïerotrope est préférable. L'auteur va reconnaître hu-mème, à l'alinéa suivant, que des corps dont la structure n'est point cristalline peuvent offrir en divers sens des élasticités inégales. On ne met en jeu, clans l'industrie, l'élasticité d'aucun cristal, niais on se sert constamment de solides hétérotropes amorphes, ou n'affectant aucune forme cristalline,

(*') Telles sonl les influences du laminage, du forgeage, de l'écrouissage, etc., et aussi de la formation par Dbres ou par couches, comme celle des bois. L'observation de l'auteur coniirme bien ce que nous venons de dire, de la nécessité de ne plus appeler cristallins mus les corps hétérotropes.

§11. — COlil'S HÉTÉROTROPES. 7)1

nous venons de porler seraient au nombre de trois, orthogonaux entre eux, et parallèles aux faces du parallélépipède. Alors, les (raclions normales ne produiraient que des déplacements normaux, et le corps non isotrope se comporterait comme un corps isotrope, à la seule exceplion que dans tes trois directions des tractions les trois modules d'élasticité d'extension E, et aussi les coefficients o de proportion des contractions latérales correspondantes (J2 2), alors au nombre de six, auraient des valeurs différentes (Voir la note de la fin du 2 10).

Mais généralement, des tractions môme normales aux faces produiront, oulre les dilatations, des glissements relatifs découches parallèles, ou des déplacements tangentiels. Les angles formés par les trois côtés du parallélépipède changeront en même temps que leurs longueurs, sous l'influence de tout système de tractions, normales ou obliques.

Désignons comme ci-dessus les longueurs des cotés;

Primitivement, par

a, h , c; Après le* déplacements, par

a{\ h- «y , h{\ -t-<y , c 1+3,), et les trois angles plans du parallélépipède déformé par

Les six quantités? . cV,, <\, g , g.,, ff dépendent à la fois des six composantes

des forces intérieures; d'où il suitque, réciproquement, celles-ci peuvent être considérées comme fonctions de celles-là. Les expressions de ces fonctions ne devront pas contenir de termes constants ou indépendants des grandeurs des déformations, attendu que celles-ci doivent être nulles en même temps que les forces agissant sur les faces de l'élément. Pour déterminer, du reste, la forme de ces mêmes fonctions, nous pouvons nous servir de cette circonstance que les six grandeuis ÎV cl e-.. sont

i o ( Oy

1res petites : si l'on se représente les développements des six composantes suivant leurs puissances, il suffira d'en conserver les termes du pre-

mier degré; les forces t, s'expriment donc linéairement en î>. et g ., ce qui donne un système d'équalions de la forme suivante :

O' -f-a ? H-a 7\ i n «• -h a c -ha «• t = a ? +a <) -h a <) -h a c -h a «■ -h a °"

îjy ijyxx x yyyy y^ yyz2 ;vz~ yy-yz^yz '!/!/■;.'■»;.■ '■!/.'/••''.'/ °<V

' t ,.=a î) -ha ? -ha ? -ha er -ha o- -ha o-

//; //;•./•./• .r ' yz-yyvy~ayz-zz"z~ayz-yzByz~ayz.zx'>zx~ayz-xyOxy lza -■^x.xx^z^^x.yy^y + ^x.zz^z + azx-yzSyz + %.zx^x+azx.xySxy. ixy = *xy-xxK+*x,j-yy*y + axy.zzîz+\y.yz%yz + *xy.zx8z

xyxyoxy.

Dans ces formules, les notations sont (elles que les deux premiers indices des coefficients a se rapportent à la traction t à laquelle ils appartiennent. Quant aux deux derniers, ils se rapportent à la déformation partielle d, g, que ce coefficient affecte ; en sorte que, comme les indices x, //, z sont ceux de directions parallèles respectivement aux côtés a, b, c du parallélépipède, xx, comme ensemble des deux derniers indices d'un coefficient, répond au changement "à qu'a subi le côté a ; yz au glissement g( ., ou petit rétrécissement qu'a subi l'angle primitivement droit des deux côtés b, c, et ainsi des autres.

Les trente-six constantes a dépendent seulement de la nature de la substance du corps ; quelques-unes sont égales entre elles, ce dont il sera question au g 16 (*).

(*) On y verra, en effet, que n,-,-.,;,, = aUU/XX . a**.»* = *mx . **>» = a«-f* < c'es,

à-dire qu'on peut permuter les deux premiers indices avec les deux derniers, à la fois, sans que le coefficient change; ce qui réduit les 50 coefficients à 21 inégaux ; et dans une note de la un du même £ 10, nous motiverons notre opinion de la possibilité de permuter même une seule des deux dernières lettres avec une des deux premières, ce qui réduirait le nombre des coefficients à 15.

Noms que M. Rankine donne à ces divers coefficients.

M appelle (On A.rcsof Elaslicihj und crystallin Forms,hi le 21 juin 1855 à la Société Royale) :

Elasticités directes, les coefficients axx-xx, a«»™, au>iZ, mesurant le rapport entre une tension uniforme et normale, telle que tx, à la dilatation ?.,. supposée exister seule, ou sans qu'il y ait de dilatation dy , ?: , ni de glissements g,,., g:.r, g,.,, dans la même direction, ni dans des directions perpendiculaires:

Elasticités langentielles, ou de rigidité, les coefficients ayz«z, a.J;,. , a™^, rapports d'une tension tangenlielle telle que Lz au glissement de même indice gtfJ , supposé pro- • fuit seul;

Elasticités latérales, les coefficients a„„ „ , a.. ,.,. , a/r „.. , dont le premier est le rapport

d'une tension normale t,/(/ à une dilatation ?s existant seule dans une direction perpendiculaire :

Elasticités asymétriques, les autres coefficients tels que aXXtXV, a:iJ1| , a.. aj où une lettre x, y, z ne se trouve qu'une fois.

Sous emploierons quelquefois, ces dénominations commodes.

Il ne faul pas confondre une élasticité directe arj„ avec le coefficient ou module d'élas-

§ M. — CORPS HÉTÉROTROPES. 59

Les équations (25) doivent donc pour les corps non isotropes, être substituées aux équations qu'on tirerait de celles (le) du § 4, qui sont relatives aux corps isotropes. Mais les considérations qui ont été présentées à partir de là. dans ce même i; 4 et dans les six suivants 5, 0, 7, 8,9, 10, celles, par exemple, qui sont relatives à l'ellipsoïde d'élasticité et à l'autre surface du second degré donnant les directions conjuguées des tensions et des faces, restent applicables, sans changement, au cas plus général actuel ; car il n'a été fait, en présentant ces considérations, aucun usage des expressions des tensions en fonction des déplacements!*).

ticité § 2, Er = — , rapport entre une tension et une dilatation qui se trouve accompagnée de contractions dans les deux autres sens, vu qu'on suppose t = 0. t.- =0.

(*) t. La preuve de la forme linéaire des expressions (25) des composantes de tensions ne peut pas être purement mathématique. — Clebsch déduit la linéarité des formules (25) en <> , d , t1 , ff , g , £ , d'une sorte de néces-

x ' x y ;' *-(/: °;.r ~.nj

site mathématique, résultant de ce que ces six déformations élémentaires sont très petites, en sorte qu'on peut ne conserver que les termes affectés de leurs premières puissances, en négligeant les autres dans le développement des composantes de tension, t t qui en sont fonctions.