XX XIJ

Nous avons déjà dit (§§2 et 5, à l'occasion des formules, aussi linéaires, p = E3, p = Gg) ce que cette preuve, trop souvent alléguée, a de défectueux.

Tout développement d'une fonction, fùt-il bien prouvé qu'il peut se taire suivant les puissances ascendantes de sa variable ou de ses variables, ne commence pas par la puissance 1. Toute fonction d'une ou plusieurs variables supposées rester très petites n'est donc pas forcément linéaire ou du premier degré. Par exemple, l'excès e = h — 1 de l'hypoténuse h d'un triangle rectangle sur son plus grand côté, supposé égal à 1, est bien fonction du plus petit côté k; cependant, lorsque celui-ci devient extrêmement petit, h — 1 n'est pas fonction linéaire de /; : car on a alors h = v^l H- A2 =

l+-q, d'où il résulte que l'excès h — l=e est proportionnel au carré du

côté k et non à sa première puissance. Réciproquement, le petit côté k est fonction de l'excès e = /i — 1 de l'hypoténuse sur l'autre côté; or, quand cet

excès devient extrêmement petit, on a & = (2e)2 et non pas k linéaire en e.

On pourrait en rapporter bien d'autres exemples (voir l'appendice V de mon édition annotée, 186-4, des Leçons de Navier, g 55, page 663). On sait, d'ailleurs, que les séries de Taylor et de Mac-Laurin sont souvent, comme on dit, en défaut.

Généralement et philosophiquement aucune considération purement mathématique ne saurait révéler le mode de la dépendance mutuelle des forces agissant sur les éléments des corps, et des changements géométriques qui s'y opèrent, tels que ceux des longueurs et des angles de leurs

Hl AI'. I. — FOIiMl'I.KS FONDAMENTALES.

côtés : la connaissance de ce mode ne peut être dérivée que des faits, ou de quelque loi physique exprimant un ensemble de faits constatés.

2. On peut le conclure {ce mode de dépendance) d'expériences faites depuis Hooke jusqu'à nos jours.. — Déjà l'auteur invoque avec raison le fait expérimental et si patent de cette dépendance entre les forces et les changements. Or l'expérience a aussi appris quelque chose de son mode ou de sa loi. On connaît depuis deux siècles le fameux principe de Hooke (ou de Mario tte) ut tensio sic vis, dans l'énoncé duquel fensio doit être traduit extension, ou contraction, ou flexion, etc., car il exprime généralement la constante proportionnalité que ce physicien du dix-septième siècle a constatée entre les forces appliquées à divers ressorts et les amplitudes des déformations qu'elles leur font prendre. Toutes les expériences faites depuis celles de Hooke et de Mariotle par Coulomb, Gerslner, Duleau, Charles Dupin, Savait, Ardant, Wertheim, etc., sur la flexion et la torsion des il ls ou des pièces solides, enfin par M. Hodgkinson, par M. Tresca sur l'allongement et la contraction de longues barres, ont confirmé cette proportionnalité ainsi que la loi d'égalité des contractions aux extensions produites par les mêmes efforts longitudinaux, tant qu'ils ne vont pas jusqu'à produire des effets permanents. Et M. Stokes cite avec raison, comme une preuve dynamique très péremptoire de cette môme loi de proportionnalité,. le fait du tautochronisme des petites vibrations des corps élastiques sonores, ou l'unité de ton musical qu'on en obtient en y excitant des oscillations d'amplitudes très différentes, mais toujours petites. [On the internai friction of Fluids and equilibrium of elastic bodies, mémoire lu le 14 avril 1845 et imprimé au volume VIII, 1847, des Transactions de Cambridge.)

Or, sans anticiper sur les calculs des £§ suivants, nous pouvons dire ici que toute flexion résulte de dilatations et de contractions, toute toivion de glissements transversaux, comme ceux dont il a été question au g T>; que rallongement même des ressorts en hélice sur lesquels Hooke a fait ses principales expériences est l'effet combiné de la torsion et de la flexion de leurs fils, etc. La l'orme linéaire attribuée aux six équations (23), et qui donne bien, pour chaque température supposée rester constante, la proportionnalité des efforts aux effets de chaque espèce et de chaque sens, se trouve ■ donc justifiée comme conforme à tous les faits observés.

5. Cette linéarité peut être déduite aussi de la loi qui lie d'une manière continue les actions entre les molécules à toutes leurs distances mutuelles et de lu considération de ce qu'il s'agit ici d'exprimer : ce sont en réalité dis différences d'actions en fonction de différences de dislances. — Ce n'est point d'une manière empirique, ou en tant que résumant une suite de faits, qu'ont été trouvées de 1821 à 1829 les formules de celte mécanique des forces moléculaires qu'on appelle aujourd'hui la théorie de l'élasticité. On sait que les lois mêmes des mouvements planétaires n'ont été si bien découvertes et si patiemment constatées par Keppler que sous l'inspiration d'idées théoriques vaguement conçues, et que Newton, plus tard, a su dégager et déterminer. En général, pour convaincre nos esprits, l'empirisme, qui ne rend