ÉQUILIBRE INTÉRIEUR IM.\ CORPS SOLIDE

axes, et la nullité des sommes des moments de rotation autour des mêmes axes.

Egalons d'abord à zéro les sommes de composantes, et observons que les composantes écrites en premier lieu doivent être prises avec le signe négatif puisqu'elles agissent dans des sens opposés aux demiaxes positifs. Les grandeurs de second ordre se détruisent, et en divisant ce qui reste par dxdydz, on a les équations

v t, il < i

-±L + *H -f- ^i . 1 \ = o , t x < if c x

'(l-r '<■ l„ Ct.,

ax cy tz w

Dans le calcul des înomenls de rotation, il reste, au contraire, des sommes de quantités de second ordre. On peut donc supprimer les termes du troisième. On n'aura ainsi à tenir compte, ni des forces extérieures s'exerçant à l'intérieur de l'élément, ni des composantes de tractions directement opposées agissant sur les faces parallèles deux à deux. Or on a déjà dit, au § 4, que si les forces agissant sur ces faces opposées sont égales et opposées mais contraires non directement, il suffît, pour l'équilibre de total ion, que Ton ait

Ces trois égalités ont donc encore lieu ici, en sorte que les neuf composantes des tractions se réduisent à six inégales, comme on l'a déjà admis, d'après le g 4, en posant les six formules (25) des t ..... t . En conséquence, les trois équations (24) sonl les seules qu'exige l'équilibre intérieur du corps.

Le parallélépipède infiniment petit dxdydz est, comme on voit, soumis à des tensions ordonnées entre elles de la même manière que celles qui agissaient sur les parallélépipèdes finis considérés aux

(•) Pour certaines questions délicates, relatives surtout aux fluides, et aussi pour les Iliaques très minces et très tendues, faisant membranes, on a besoin de fosseder des équations ayant un degré d'approximation de plus que celles (24). Voyez le calcul particulier qui en est donné aux n01 10 et 20 de la note du n° 73, sur les plaques. Ou peut voir aussi un mémoire de M. Boussinesq, sur les ondes liquides périodiques, au tome XX ries Savants étrangers.

46 CHAP. J. — FORStÜLÜS FUNDAMENTALES.

§§ précédents, en sorte que les considéra lions présentées alors sont applicables à l'état des éléments de l'intérieur de tout corps. Dans chacun d'eux, les points placés primitivement sur la surface d'une très petite sphère forment ensuite un ellipsoïde, qui sera étudié rigoureusement plus loin sous le nom d'ellipsoïde des déformations ou des dilatations. Toutes les petites faces planes, de même superficie, se croisant en un même point, supportent des tractions dont les directions sont les diamètres conjugués à ces faces, par rapport à une cerlaine surface du second degré, ellipsoïde ou hyperboloïde ; enfin, les extrémités des droilcs qui représentent ces diverses tractions, en direction comme en grandeur, mesurées à partir d'un même point, forment ensemble une autre surface qui est constamment un ellipsoïde. Les formules et propositions des §§ 5 à 10 subsistent ici sans la moindre modification. Mais, d'un point à l'autre du corps, les tractions changent ; en conséquence, les situations de ces surfaces courbes, les grandeurs et les directions de leurs axes principaux changent aussi.

Les formules (2) du g 5 donnent, par conséquent, les conditions particulières d'équilibre relatives à la surface libre du corps. Si l'on imagine un petit parallélépipède tranché obliquement par cette surface, on connaît la grandeur et la direction de la traction supportée par le plan de section, car c'est celle que subit l'élément de la surface et de son plan tangent de la part des forces extérieures. Soit T cette traction supposée connue, et soient m, ■/., p les angles que forme sa direction avec les trois axes coordonnés ; p, r/, r, les angles formés avec les mêmes axes par la normale à la surface, menée vers le dehors ; si

t , t t représentent toujours les composantes suivant les axes

coordonnés des tractions que supporte l'unité superficielle des faces du parallélépipède, supposées perpendiculaires à ces axes, les équations (2), page 18, doivent toujours être satisfaites, de sorte qu'on doit encore avoir

1 \ ri cos p -+- t cas q -h t(,. cos r = T cos o , ("2.')) < L cos p -+- t cos q -+- t cos r = T cos x,

( t.r cos p -+- t cos q H- t.. cos r = T cos p.

§13. — Expression des six déformations élémentaires (trois dilatations et trois glissements) en fonction des neuf dérivées ou quotients différentiels des déplacements des points.

les six équations (24), (25) expriment d'une manière complète les conditions d'équilibre. Mais, en faisant abstraction des trois dernières