DÉFORMATIONS EN FONCTION DES DÉRIVÉES DES DÉPLACEMENTS

qui n'ont lieu qu'aux limites, c'est-à-dire à la surface, on a, dans trois

équations, six fonctions inconnues t , t t. , Rien n'est changé

quant au nombre des inconnues, si l'on met pour ces six fonctions leurs valeurs ('25) du £ 11, exprimées au moyen des déformations *\r' *V <V %yz> ö;x' £xy- ^ convient donc de ramener ces déformations à trois inconnues seulement, et l'on y arrive en remarquant que les divers parallélépipèdes élémentaires, assemblés sans discontinuité, forment, par leur réunion, le corps entier. Si, en considérant l'un de ces parallélépipèdes, x, y, z désignent les coordonnées primitives de celui de ses sommets qui est. le plus rapproché de l'origine, les trois sommets qui sont unis à celui-ci par les côtés dx, dy, dz, respectivement, ont pour coordonnées primitives

x -h dx ,

y^rdy,

; + dz.

Par suite des déplacements que produit, dans le corps, l'action des forces extérieures, le premier sommet acquiert généralement des coordonnées nouvelles. Si nous les désignons par

x ■+- u , y -h v , z -f- ut ,

u, v, w, représentent les déplacements de ce sommet dans les sens positifs des axes coordonnés. Ces déplacements u, v, w varient d'un point à l'autre et sont, par conséquent, des fonctions de x, y, z. On obtient donc les déplacements des trois autres sommets considérés en remplaçant, pour le premier des trois, x par .r -h (te; pour le second, j/par y -+-dy; pour le troisième, z par z -h dz. Leurs coordonnées deviennent ainsi, après les déplacements opérés,

cJw 7

z-^w-^s- dx ox

z-\r-w-\- -r- dy,

<-\-dz + w ■+- -g- dz.

Si l'on retranche les coordonnées x -f- u, y -+- v, z -h iv du sommet considéré en premier lieu, l'on a pour les projections, sur les axes

eu , x H- dx H- m H- —dx,

y+v+itedx'

i dv , y+dy-jrv-hg-dy,

du , X-{-U~\--ërdz,

-i8 CHAP. I. — FORMULES FONDAMENTALES.

coordonnés, des trois côtés adjacents, dilatés et déplacés, 1. 1 H- - -\dx , rfir, — "•'' .

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