TRAVAIL DES DÉFORMATIONS

Si maintenant on veut prendre pour axes coordonnés les axes principaux de l'ellipsoïde d'élasticité, on n'a qu'à effacer les ty,, t,x, t , et à remplacer les t,.,., t , t„ par T', T", T'". On obtient ainsi, pour l'équation de l'ellipsoïde de déformation,

Comme elle ne contient pas les produits deux à deux de x", y", z", on voit que l'ellipsoïde de déformation, rapporté aux axes principaux de l'ellipsoïde d'élasticité, se trouve, par cela seul, rapporté aussi à ses axes principaux propres.

Pour des substances cristallines, et plus généralement pour toutes les substances hétérotropes, la même propriété n'existe plus (*).

g 16. — Détermination du travail pour une petite déformation d'un corps. Relations qu'on en déduit entre les trente-six coefficients qui servent à définir la manière de se comporter d'une substance cristalline, ou de toute substance solide non isotrope.

Imaginons (**) qu'un corps, soumis à l'action de forces quelconques, subisse une suite de changements dans sa forme, en sorte que ses divers points (x, y, z) dont les coordonnées sont devenues x -\- u, y -f-u, z-j- w, continuent de se déplacer, et franchissent, pendant un temps infiniment pelit, des espaces élémentaires ou, cv, cw parallèlement aux x, aux y et aux z. Le travail produit dans tout le corps par ce petit mouvement s'obtiendra en multipliant un élément dxdydz

{") On verra à la Note de la fin du g 57, que la détermination des plus grandes dilatations, revenant à celle des axes de l'ellipsoïde des déformations, détermination que l'auteur néglige, ici et ailleurs, de faire, est bien plus importante que celle des axes et des propriétés de l'ellipsoïde dit d'élasticité ou des tensions, du g 6; ellipsoïde qui, dans le t'ait, sert peu ou point.

Nous pourrions donner ici, comme en son lieu naturel, l'établissement de l'équation du troisième degré, analogue à celle (7) du § G, dont les racines fournissent les trois dilatations principales. Nous prêterons le renvoyer au n° 5, équation (e), de cette Note de la fin du § 37, qui traite des limites à imposer aux forces extérieures auxquelles on soumet les pièces solides, ou de ce qu'on appelle les conditions de résistance permanente à la rupture, aiin de ne pas diviser et interrompre ce qui est relatif à cet important sujet.

{") Nous avons dû ici. jusqu'à l'équation &W=...., changer un peu la rédaction de Clibsch, pour la rendre plus claire.

de son volume par les composantes, dans les directions x, y, z des forces agissant sur l'unité de ce volume et respectivement parles petits espaces parcourus eu, îv, Ziv, puis ajoutant les trois produits et intégrant leur somme pour toute l'étendue ou pour tous les éléments du corps. Or, les trois composantes de forces agissant sur l'unité de volume de l 'élément dxdydz ne sont autre chose que les seconds membres des équations (50) du g 14, page 51, c'est-à-dire

il -(- —il' -h — -+- X dans le sons dos x »

c x c y dz

et deux quadrinômes analogues dans les sens y et s. L'élément de travail produit pendant que les points parcourent les espaces dont les projections sur les x, y, z sont lu, ov, civ, se présente donc sous la forme

fîW r7II-i-;v, où

5 U = j 1 1 (X § h -f- Y or -h Z o w) dx <Iy di

représente le travail des forces extérieures agissant sur l'intérieur du corps, el

ex cJy cz

fff +or(;V + ^>+V- \ dxdydz, .'.'.! v < x (il < :- |

/cri.

Vrt. ; t.

représente le travail des tensions qui proviennent, tant des actions réciproques de ses molécules, que des forces quelconques de pression et de traction pouvant solliciter sa surface.

Considérons d'abord un seul des neuf termes de cette dernière intégrale triple, par exemple

dx il y ih- .

JJJ

Intégrons par rapport à x partiellement, à savoir pour la pelile portion du corps qui est contenue dans un canal infiniment délié dont nous considérons la section dydz comme constante ainsi que les coordonnées y e! z. Cette intégration par parties, si Ton remplace, dans

sj 16. — DÉCOMPOSITION ri! TRAVAIL DTS DÉFORMATIONS. ."»0

le second terme, -~ — par M^-j qui lui est identique, nous donne

I expression

La parenthèse carrée signifie qu'au lieu de l'expression t,,,.îu qu'elle renferme, on doit mettre la différence des valeurs que prend cette expression aux deux extrémités du canal considéré. Désignons maintenant par de, (W, les éléments que découpe, sur la surface du corps, ce canal à ses extrémités, et par p, q, r les angles que forme avec les axes coordonnés la normale à (h menée vers l'extérieur du corps, enfin par //, q ', r\ les mêmes angles pour la normale à de'.

Si c/7 est l'extrémité antérieure du canal, c'est-à-dire celle qui se trouve le plus du côté positif des x, et ds' son extrémité postérieure, cos /> est nécessairement positif, et cos p' négatif, en sorte qu'on a dy dz. =. d(7 cos p = — dn' cos //.

La différence des valeurs limites de tr(. ou dydz devient donc la somme des valeurs que prend l'expression t^. lu dç cos p pour les extrémités du canal. Au lieu d'étendre l'intégrale double ci-dessus aux extrémités de tous les canaux parallèles à l'axe des x que l'on peut mener semblablement dans l'intérieur du corps, il est évidemment possible d'intégrer directement pour l'ensemble des éléments dç qui comprennent les éléments dé. Donc

Il [t,., îm] dydz l txxSu <h eos p.

On arriverait au même résultat si le canal coupait la surface du corps plus de deux fois. Le nombre des points d'intersection du canal et de la surface est évidemment toujours pair, attendu que chaque fois que le canal entre par un point dans l'intérieur du corps, il doit

en sortir par un autre. Désignons ces points par 1, 2 In. Alors

nous aurons à intégrer le long du canal, dans toutes les parties situées ;i l'intérieur du corps, par conséquent du point 1 au point 2. du point 5 au point i, etc., et au lieu de [t,.,. S?/] nous devrons écrire

t Su \ — (t Su) -h -f- ( t Su\ — (t Su).

Pour chacun des points d'entrée du canal, nous aurons, comme ci-dessus,

il il ih - — de , . , COS p , ,

60 CHIP. I. — FORMULES FONDAMENTALES.

et pour chacun des points de sortie

dydz = da2k cospik.

De sorte que l'intégrale ff [/,.,. Zu] dydz prend la forme

ff \ (tj'e SU \n ***** ^2" ^ + [Kx * ?')l "*P* (Ui |"

Si donc, comme tout à l'heure, nous intégrons, non pas pour tous les canaux possibles parallèles à l'axe des x, mais pour tous les éléments de de la surface, cette même intégrale peut être remplacée simplement par

txxSn da cos p ,

ce qui était à démontrer. Ainsi, dans tous les cas, on remplacera le terme de oV que nous avons considéré, par

t Su da cos p — lii tzz§ (^— ) dxdydz,

où la première intégrale doit être étendue à toute la surface a du corps (*).

Si l'on fait de même pour tous les autres termes de o V, on obtient

av^si^ — au8,

cil, représentant l'ensemble des intégrales simples, et cU2 l'ensemble

des intégrales triples comme est celle de l'expression binôme en t,(. qu'on vient d'écrire. Et l'on a

5Uj = f(txx cos p -+- t cos q + tM cos r) Su d<r

"+- f(lyx C0S P + Kjy C0S 9 + t,/:. C0S V) Sv lh

-f- f{t cos p -ht cos </ H- t.. cos r) o//' ï/t.

(") On aurait pu, dans l'expression / / / ou ~M dxdijdz, mettre, à la place de

Si g)(t Su) 9/Su\

ouxx, __xx — % SI —I» comme on fait le plus ordinairement en pareil cas, pour

ox ex \('^l

n'avoir pas à parler d'intégration par parties.

fer ( (\ Su)

Quanta la transformation qui vient d'être faite, d'une intégrale I / / " dxdydz

pour tout un volume, en une intégrale pour sa superlicie a, et à celle qui peut être faite de même d'une integrale pour toute une superlicie plane, en une intégrale pour son contour, elles sont d'un usage fréquent et nécessaire, bien qu'il n'en soit pas question dans L'enseignement de nos écoles. Le premier exemple parait en avoir été donné dans la Mécanique analytique. Lamé en a offert une application à la deuxième (g 10) de ses Leçons de 1852 sur la théorie de l élasticité.

§ 16. — DÉCOMPOSITION d'une INTÉGRALE PRISE POUR UN VOLUME. 61

Or les expressions entre parenthèses sont précisément celles qui, d'après les équations (25), équivalent aux composantes T cos t.>, Tcosx, T cos p des forces de traction T appliquées à la surface du corps ; oU, n'est donc rien autre chose que le travail de ces forces de traction extérieures, en sorte que

SU = fl (cos ct Su -f- cos •/ or -f- cos p Sw) th. On trouvera de même que les huit termes de 2U2 autres que celui qui contient tr).o ( — J, et que nous avons écrit, sont affectés, sous le triple signe d'intégration, des incréments 8 des autres quotients différentiels

(U tU cV (W , ,. , , .

— >— > — — des déplacements u,v,iu et des autres composantes

( y t z c oc o z

tyy des tensions; d'où résulte, en mettant, d'après les expressions

(28), les déformations élémentaires S, 3„ g,.„aulieu de 77-, 7^-

tU c V

cl) ( X

On a ainsi pour le travail total

3\V= 3U + 3Ü, — ÎUS,

où <îU et oUt représentent les travaux des forces extérieures agissant respectivement sur les points intérieurs et sur la surface du corps. Par conséquent — £U2 est nécessairement le travail des forces internes qui procèdent des actions moléculaires (*).

(*) M. Kirchhoff a eu l'obligeance de m'indiquer, vers 1858, une manière s-imple et directe de se rendre compte de la composition sextinôme de l'expression ainsi donnée du travail interne ou moléculaire <5U pour l'unité de volume d'un élément. Soient x, y, z les trois côtés très petits, parallèles aux x, y, x, de cet élément rectangle; 1° si la dilatation d déjà subie par son côté x vient à être accrue de Sd , les deux faces opposées et égales yz s'éloignent de xSd ; les composantes normales de tension exercées par la matière environnante sur ces faces produisent un travail yz t x od ; cela fait, par unité du volume xyz, le travail

t o«) ; 2° si, l'une des deux faces opposées yz restant immobile, le glissement g vient à j.r x ^xij

augmenter de 5g , il y a un cheminement xôg de l'autre face parallèlement à celle-ci ; en

sorte que la tension tangent ielle t qui agit par unité de sa surface yz dans le sens y de ce cheminement, produit un travail yzt xSg . Il y a bien deux autres faces sur lesquelles agit une tension ou t égale à t ; ce sont les faces xz. Elles ont, dans ce mouvement, pivoté autour des deux côtés z de celle des deux faces yz qui est restée immobile; mais les tensions t s'y exercent dans le sens x et non dans le sens y qui a été celui du mouvement,

Or on sait que le travail des forces internes d'un corps est constamment une différentielle complète, ou. en d'autres termes, que le travail correspondant à un déplacement fini dépend seulement de la position initiale et de la position finale des diverses parties ou molécules du corps, mais non du chemin par lequel elles ont passé d'une position à l'autre. Comme, d'autre part [§H, expressions (23)], les l,,

t,.(/sontdes fonctions linéaires.de3 , î\, ga.(/, il doit nécessairement y

avoir une fonction homogène, du second denn', de ces grandeurs, dont les quotients différentiels par rapport à e,, £,,.... g,,, sont les six tensions ; de sorte que la différentielle complète par o de cette lunelion, laquelle peut être désignée par F, peut s'écrire

(34 a) 8F (,,.,. fàx-h t,iy *^+tJS »Ss+t^ *g^H-t«*g«-MXff*g,ff •

11 résulte de là, pour les milieux non isotropes, une série d'équations de condition entre les coefficients a des expressions générales (25) des six composantes des tensions ; car, par exemple, t, .,. différence par rapport à 3 , doit donner le même résultat que t,^ différent ié par rapport à dx. Toutes ces équations de condition peuvent être représentées par la seule équation suivante, dans laquelle les indices /, h, /, m, peuvent être remplacés successivement par x, y, z :

ik. Im Im. il<

Ces conditions, qui sont au nombre de quinze, réduisent à 21 différents les 56 coefficients a, ainsi qu'on l'a déjà dit plus haut (*).

elles n'ont donc rien ajouté au travail vzi xSg des tensions t , travail qui est ainsi,

•' J XIJ °Xil .1/1 '

seulement, l Se par unité de volume de l'élément. Or, le travail des six tensions sur les laces de l'élément doit, pour que l'équilibre ail lieu après comme avant ces petits mouvements, être égal (au signe près) au travail moléculaire de l'intérieur de l'élément. Donc ce travail a bien pour grandeur, par unité de volume, le sextinôme (' ( 53^ + ....-f-t ^ 5g ) de la parenthèse de L'expression de SU . (Voir l'appendice V de l'édition annotée de Navier de 1864, ou un article des Comptes rendus Sur le nombre des coefficients, etc.. du 10 novembre 1861. t. LUI, p. 1107.)

(*) En effet [et sans avoir besoin de dire et. de faire voir, d'après la forme des expressions (23), que r doive être une fonction homogène du second degré], il suffit, pour arriver

au but actuel de l'auteur, à savoir, la réductibilité des 36 coefficients a a à

.... •' ' ■ 21 inégaux, de regarder comme admis et nécessaire, ainsi qu'il le fait, que le travail intérieur, exprimé par la parenthèse de SU ou le second membre de (54 ci soit la différentielle exacte, par S, d'une fonction des six quantités d , D g qui aurait leurs sis

multiplicateurs t t pour ses dérivées partielles par rapport à "Iles respectivement.

Car cela exige qu'on ail bien, entre les dérivées de ces six multiplicateurs eux-mêmes

ii 'i i I '. ' ' •' combinés deux à deux, les -1-=: 15 égalités, (elles que '- — —;—- ■ "',

v< 16. — PONCTTOfl POTENTIELLE DE [/ÉLASTICITÉ. (i.r>

La fonction F est facile à déterminer.

Elle se présente même, pour les substances isotropes, sous une forme assez simple. En effet, si au moyen des équations ( l c) du § 4, page 14, on exprime les t en fonction de D„ D , d3, g , gsj;, g,.., si l'on introduit les valeurs ainsi trouvées dans l'équation (34 a) et si l'on intègre, on obtient

m , E ( -2 n (c* H- c> -f- e* )- sr - -+- "• - -A- "■ - )

2(lH-9)j * * 3 l— 2n 2 ^ 2

ou

E IA1 , A r . 2"? E-2G (*)

Tri ; peut être remplace par G, et -= jr— par -=-= — =-

2(1+9) .1 — 2ol 5G— E

1. Fondement de la réduction à 21 inégaux au plus, par George Green, des 56 coefficients des formules générales des six composantes rectangulaires des tensions élastiques. — C'est cet illustre physicien, déjà cité au n° 5 d'une Note de la fin du § 11, qui a opéré, de la manière ingénieuse rapportée par Clebsch, la réduction dont nous parlons.

Il la fonde, dans ses deux célèbres mémoires d'optique mathématique (On the Laws of Reflexion and Re fraction, Il novembre 1857, et On propagation of Light in crystallised Media, !20 may 1859, au volume VIII. 1859-1841, des Transactions de Cambridge), sur ce principe, posé à la première page, que « de quelque manière que les éléments d'un système matériel agissent les uns sur les autres, la somme des produits de leurs actions par les éléments de leurs directions », ou, comme on dirait aujourd'hui, la somme de leurs travaux pendant un temps infiniment court, « doit être la différentielle exacte ou complète de quelque fonction » ; parce que (ajoute-t-il. p. 4) si cela n'était pas, « le mouvement perpétuel serait possible; et nous avons toute raison de penser que les forces, dans l'univers, sont disposées de manière à faire de cela une naturelle impossibilité. »

l2. Le principe ainsi invoqué par Green revient à celui de la conservation des forces vives. — En effet celui-ci, dont on déduit, lorsqu'il est une fois admis, l'impossibilité du mouvement perpétuel, peut être regardé réciproquement comme une conséquence de celte impossibilité.

On sait qu'il s'exprime par une équation

M 2 >ni+W(*>y> -■'■'■ !/'-'-v.-'' )=

une constante. C

dont le premier terme représente la somme des produits des masses m de tous les points d'un système matériel par les demi-carrés de leurs vitesses V à un instant quelconque, et dont le second, Y, est une fonction des coor-

données x, y, z, x' au même instant, de tous ces points supposés n'éprouver que leurs actions mutuelles, auxquelles peuvent se joindre des actions émanées de points extérieurs fixes. Or, pendant toute portion infini-

ment courte dt du temps, l'augmentation 2>n—-\dt de Swi^- est identiquement égale à une somme d'autres produits qui, cinématiquement, sont ceux de masses m par des accélérations composantes ou partielles regardées comme ducs à ces deux espèces de forces, et par des espaces parcourus estimés ou projetés suivant leurs directions; produits qu'on appelle les travaux de ces mêmes forces (*). L'équation (a) revient ainsi à ce que le travail total, pendant un temps élémentaire dt, dans le système que ces forces sollicitent, est la différentielle complète, par rapport au temps t, de la fonction Y des coordonnées, ou à ce que, entre deux instants aussi èloi-

(*) En effet, appelons J 1 accélération actuelle d'un point matériel m; j = — , j= — ,

les composantes de cette accélération de m dans les directions p, p' de ses lignes de

jonction tant avec les autres points matériels du système qu'avec des centres d'action extérieurs fixes, en sorte que P, P' sont ce qu'on appelle les forces ou les actions exercées

sur m par ces divers points. Projetons toutes ces accélérations sur la direction V de la vitesse actuelle de m, nous aurons

J cos (J, V) = j cos (j, V) + f cos (/', V) +

dV Multiplions de part et d'autre par mV dt. Comme J cos (J,V) —-y-.t le premier membre sera

jjiY — dt ; mj, mj'.. .. seront remplacés par P,P' ; Xdt cos (V, ;'), Xdt cos (V, /)

seront les expressions de l'espace parcouru projeté ou estimé suivant les directions respectives p, p' de ,/', j' ou de P, P' Appelons, suivant l'usage, dp, dp' ces espaces

infinitésimaux ainsi projetés et S l'indice d'une somme pour toutes les accélérations partielles y, ou pour toutes les forces P agissant sur le point m, nous aurons

dN m V tt dt, ou m V d V — S P dp .

dt

Faisons la somme do toutes les équations comme celle-là, relatives aux divers points m, m'. ... du système, et prenons S pour l'indice de cette somme, nous aurons

2mVdV=ZSPd/> ,

équation de pure cinématique si pour les P on met des mj, les m désignant des nombres d'atomes ou de points élémentaires tous égaux dont on supposerai! le corps composé ; mais équation dont le second membre représente bien ce que l'on appelle la somme des travaux

de toutes les forces du système; s ne dans laqili lie les tenues relatifs à l'action mutuelle

P de deux des points du système se réuniront c me on sait en un seul Pdp, où dp. au lieu

de représenter les espaces parcourus par ces deux points, représentera la diminution de

leur distance pendant l'instanl df,ou son aug ntation, selon que ces points s'attirent ou se

repoussent ; ce qu'il fallait démontrer.

El l'un sait, du reste, qu'un nombre fort grand île tenues du second membre peut être effacé sans erreur sensible lorsqu'on suppose approximativement (car cela n'a jamais lieu

exactement) (pie des distances de points n'ont pas varié.