NOTK DU 5; 16. — RÉDUCTION PAR GREEN IM NOMBRE DES COEFFICIENTS

gnés qu'on veut l'un de l'autre, le travail accompli ne dépend que des situations initiales et finales des points m; de sorte qu'il est nul si ces points sont revenus aux mêmes endroits, quels que soient les chemins divers qu'ils ont parcourus.

Si cette équation de conservation (a) n'avait point lieu ;et c'est par le même raisonnement que se démontre aujourd'hui, comme on sait, le second principe de la thermodynamique), nous aurions le pouvoir, en faisant suivre aux points m des cycles divers de chemins convenablement choisis, de créer perpétuellement, dans un système, sans moteur étranger (c'est-à-dire sans faire intervenir aucune force extérieure à centre (Y action mobile), du travail et de la force vive.

L'impossibilité d'une pareille création, posée par Green comme un postulatum, revient bien ainsi au principe connu de Mécanique exprimé par l'équation (a).

En l'invoquant, il a donc pu rationneîTemenl établir, entre les 56 coefficients des formules de tensions (23), les quinze égalités qui les réduisent, pour la contexlure la plus générale qu'on puisse supposer à la matière à chaque endroit, à vingt-un inégaux au plus, qui, comme on verra plus loin, ne sont plus qu'au nombre de neuf quand la contexlure offre trois plans de symétrie, et, lorsqu'elle est isotrope, au nombre de deux, que Clebsch exprime et remplace, comme on a vu, par deux autres nombres, savoir, le module E et le rapport numérique fractionnaire n supposé par lui variable d'une substance isotrope à une autre, isotrope aussi; et qu'on pourrait rem-

placer plutôt par E et par G, qui est égal à „71 > ce qui rendrait les

formules applicables quand il n'y a pas isotropie complète (comme on a dit).

5. Une réductibuité plus grande, ou à qulnze coefficients, est une conséquence d'actions fonctions des seules distances où elles s'exercent. — Cauchy et Poisson, dans leurs écrits de 1828, en calculant les six composantes rectangles des tensions dans les corps solides, comme des sommes de composantes d'actions moléculaires mises enjeu par les déplacements relatifs de leurs points et dont chacune a son intensité (note finale du g 11) fonction d'une seule distance, qui est celle où elle s'exerce entre deux points, ont trouvé que, lorsque les tensions antérieures aux déplacements sont nulles (ainsi que le suppose Glebsch), les coefficients des six formules comme (25) ne sont qu'au nombre de 15, au lieu de 21, pour la contexture la plus générale; de 6, au lieu de 9, pour la contexture à trois plans de symétrie, et qu'il n'y a, pour la contexture isotrope, que le coefficient unique de Xavier (celui que Lamé appelle p. et auquel l'autre, qu'il appelle >, serait égal).

Je renvoie à l'Appendice III de mes notes de 1864, mises aux Leçons de Navier (g 21 des Appendices, p. 557), pour la preuve donnée sans calcul et par un raisonnement que chacun peut refaire, qu'en admettant cette loi des intensités, ou sa conséquence immédiate et simple, qui est qu'une très petite augmentation de la distance quelconque actuelle de deux molécules engendre.

entre elles, une action nouvelle proportionnelle à cette augmentation, l'on a nécessairement, entre les oG coefficients a.... des formules (25), jusqu'à 21 égalités deux à deux; car on reconnaît facilement que la composante, suivant la coordonnée x, de l'action engendrée entre deux molécules quelconques par une dilatation D , doit avoir la même intensité qu'aurait la composante, suivant la coordonnée y, de l'action engendrée entre les mêmes molécules par un glissement g qui serait égal à dy; et l'on reconnaît aussi que la composante suivant x de l'action engendrée entre elles par un glissement e , doit avoir la même intensité qu'aurait la composante suivant x de l'action produite par un glissement gt.. qui serait égal à g(/;.D'où il résulte : 1° que sur une petite face intérieure quelconque, les deux composantes de tension, l'une suivant les <r, supposée engendrée seulement par une dilatation t> , et l'autre suivant les y, supposée engendrée seulement par un glissement g . ,sont un même multiple de ces deux déformations génératrices ? et g respectivement; 2° que deux composantes de tension, toujours suivant les x, et suivant les y, si elles sont engendrées, la première pargL^, la seconde par g , sont aussi un même multiple de ces deux glissements.

Cela entraine entre les coefficients dont nous nous occupons non seulement les 15 égalités deux à deux démontrées autrement par Green et que Clebsch résume par arH =aw.., mais encore les 13 égalités qu'exprime le symbole

' ij,kl ' ik.jl

où un seul des deux premiers indices permute avec un des deux derniers; en sorte qu'au total, et conformément à ce qu'a trouvé Gauchy, on ne change pas la valeur des coefficients des formules (23) en permutant leurs quatre indices à volonté; et ces 56 coefficients se réduisent bien à 36 — 15 — 6= 15 pouvant être inégaux.

Les adversaires mêmes de cette deuxième et plus forte réductibilité reconnaissent qu'elle est bien une conséquence absolument obligée de ce qu'ils appellent le système de Bosco v ich ; car les auteurs anglais surtout qualifient du nom de ce célèbre jésuite, peu lu quoique eminent, la loi des actions fonctions des seules dislances où elles s'exercent, bien que celte loi ail été, comme nous l'avons dit à la note du g 11, adoptée par tout le monde jusqu'au jour où Green l'a niée comme lui paraissant trop restrictive.

A. Cette réductibilité plus grande est expérimentale ment prouvée pour les corps élastiques durs. — Examinons donc si nous devons adopter la réduction, à quinze, du nombre des coefficients, au moins pour les vrais solides élastiques tels que les métaux, les pierres et les bois durs, ou bien la rejeter, et rester, à leur égard, dans l'indétermination où nous laisse la négation de Green,

Deux conséquences de son adoption sont [voyez ci-après, n° H de la pré-

NOTE DU ij lt). — RÉDUOTffilLlTÉ l'I.I S GRANDE DE CE NOMBRE. b7

sente note, formules («)], 9Z=/» pour le rapport, trouvé par Poisson, des

contractions aux extensions simultanées des prismes dont les faces latérales

G 2 sont libres, et ^r=F, pour le rapport du coefficient d'élasticité de glissement

(ou de torsion) à celui d'extension des mêmes prismes. Or, on a trouvé pour le fer, le cuivre, le verre, en un mot pour les corps solides élastiques à grain fin, lorsque leur contexture est sensiblement homogène et isotrope, à très peu près, et tout au moins moyennement, ces deux nombres-là, connue l'ont prouvé les expériences ou directes, ou comparées, de Cagnardde Latour, de Coulomb, de Duleau, de M. KirchhoFf et même celles de Wertheim bien interprétées.

Clapeyron lui-même, tout adversaire qu'il est du principe de la réductibilitè dont nous parlons, a reconnu que l'expérience donnait bien ces deux

rapports numériques j et - pour le fer, et qu'il convenait de les adopter

[Comptes rendus, ier février 1858, t. XLVI, p. 211 et 212). Et c'est ce qui a été établi récemment par des expériences bien plus délicates dues à M. Cornu (Méthode optique pour l'étude des déformations de la surface des corps élastiques, aux Comptes rendus, 2 août 18GD, t. LXIX, p. oôdj, qui a réfuté, en les expliquant par des défauts d'isotropie et d'homogénéité, les conséquences contraires que Wertheim avait cru pouvoir tirer de plusieurs de ses expériences.

Je pourrais m'en tenir là, en renvoyant du reste à la discussion longue et détaillée qui occupe l'appendice Y du livre de 1 864 déjà cité; et en rappelant que Green, lorsqu'il a élargi la loi des actions moléculaires, c'est-à-dire nié sa détermination naturelle quant aux intensités et même aux directions (il a été jusque-là) s'était proposé deux buts que son génie n'a nullement atteints, et pour bonnes raisons ne pouvait atteindre : l'un, de concilier la biréfringence avec X exacte transversalité des vibrations lumineuses jusque dans l'intérieur des cristaux! l'autre, de supprimer ou de réduire presque à rien le mélange embarrassant des vibrations longitudinales non lumineuses del'éther. .le pourrais ajouter qu'on peut refuser aussi à ses deux éminents disciples, MM. Stokes et Maxwell, d'avoir réussi en employant le même expédient dans la vue de pouvoir étendre les formules de composantes de tension à ces matières mixtes provenant de liquides coagulés plutôt que solidifiés, qui résistent à peine aux déformations, et très énergiqucment aux diminutions de volume, comme le caoutchouc, les gelées, l'empois, le gluten, les pâtes à base de gomme, le caséum, le blanc d'œuf durci,. etc. En effet, diverses expérienees ont prouvé que le caoutchouc n'est, comme les gelées, qu'un réseau vésiculeux dont les mailles ou cellules sont remplies d'une matière liquide : or, toute déformation perceptible d'éléments liquides produit des changements de distances moléculaires qui excèdent beaucoup les limites dans lesquelles les actions développées leur restent proportionnelles et ne cessent pas d'avoir les mêmes intensités pour les diminutions que pour les

augmentations de ces distances (et c'est même ce que Clebsch a reconnu judicieusement dans un passage du § i, page 5, où il exclut le caoutchouc de toute applicabilité des formules qu'il donne). On ne peut donc, de ce que présentent ces composés spongieux lorsqu'on les déforme ou comprime, rien inférer de relatif à la loi des actions qui sont en jeu là où la proportionnalité dont il est question se conserve, comme par exemple dans les métaux.

5. Conséquences analytiques générales du principe de conservation des forces vives, supposé admis a priori. — Mais allons plus loin. Voyons ce

qu'on tire de l'équation (a) v m -^ — \-T (x,y, z, x'....)=C, si on y laisse

indéterminée la forme de la fonction v; comme paraît le vouloir Green.

Elle peut s'écrire tout aussi bien, r, r', r" — étant les distances des molécules du système tant entre elles qu'avec les centres d'action fixes extérieurs, s'il y en a :

(b) 2mi+1Fi ('•''•'' '"••••) =c

où Y1 est une nouvelle fonction dont il importe peu que les variables r, r', r"

soient ou ne soient pas, en partie, dépendantes les unes des autres.

Différentions ses deux membres par rapport au temps après avoir remplacé le carré V2 de la vitesse du point dont les coordonnées sont x, y, z, par

et ensuite, dans le second membre différentiel qui sera une somme d'autant

de termes -=-* -7- qu'il y a de distances mutuelles r, entre deux points m, m' ar at

quelconques, ayant des coordonnées #, y, z, et x'3 y', s', remplaçons -j- par

la dérivée de r tirée de la différentiation de

en remarquant que les quotients de x' — .'•, //' — y, z' — z, par r sont les cosinus des angles faits avec les axes des x, y, :■ par la dislance mm'—r à laquelle le point m' agit sur le point m. .Nous aurons