S 19. — VIBRATIONS D'UNE SPHÈRE

équation en R' est donc satisfaite si l'on pose

Bl = . Y*

D'où il suit que

est, comme Rn = ç;v ( JL- ) , une solution de l'équation (45).

Puisque l'équation (43) du second ordre est linéaire, elle a pour intégrale complète une somme de deux solutions particulières multipliées par des constantes arbitraires. On aura donc la forme générale suivante de Rn, en appelant A/f et R des constantes quelconques :

Si nous remarquons que, pour le centre de la sphère, le déplacement rp doit être égal à zéro, nous verrons que le premier terme de cette expression (46) de Rw satisfait seul à cette condition. En effet, l'autre terme qui contient des puissances négatives de r devient infini pour r = 0; il doit donc disparaître, c'est-à-dire que la constante R/( doit être nulle. La valeur générale de R se réduit ainsi à

Il reste maintenant à satisfaire à l'équation de condition (41) qui doit être vérifiée pour r=a.

Si l'on y introduit la valeur précédente de Rw, le facteur constant kn disparait, et il reste

fkjay

Cette équation, à l'exception de kn, ne renferme que des quantités connues; donc les racines de cette équation transcendante ou de degré infini sont les différentes grandeurs k ; gue Von doit introduire dans l'expression (59) de p; et elles donnent les durées des oscillations partielles élémentaires qui coexistent dans le mouvement de la sphère donnée.

Les racines de cette équation (48), qui évidemment ne contient que

les puissances paires de -JL, jouissent de deux propriétés communes

aux racines de loutes les équations auxquelles conduisent des problèmes analogues d'oscillations, ainsi qu'on le verra au § suivant. Ces propriétés se rencontrent même dans une classe beaucoup plus étendue de problèmes de physique mathématique. D'abord, les valeurs de k*n que l'on en déduit sont toutes réelles et positives. Ensuite, si /.;( et km désignent deux de ces racines de (48), on a toujours

(«o jT'.(t)- >.(¥) ■■""■= °

à la condition que m et n soient inégaux ou que km et kn soient deux racines différentes. On peut voir facilement que tous les kin sont à la fois réels et positifs, et que, par conséquent, les kn eux-mêmes sont réels. En effet, l'équation (48) ordonnée par rapport aux puissances

de z=-^— prend la forme :