V ^14-iW ^2.4.5.7 VI

Comme les signes des termes changent constamment d'un terme au suivant, on en conclut, d'après les propriétés connues des équations, que toutes les racines sont positives.

Supposons déterminées toutes les racines k . Alors lesR(/ se trouvent aussi déterminés en tout à l'exception de leur facteur A/;. Les Sn qui doivent satisfaire aux mêmes équations que les R;), ne se distingueront de ceux-ci que par la valeur de la constante; on peut donc poser

et, par conséquent, l'expression (59) qui donne la valeur de p prend la forme suivante :

49 a) p j A, sin (/.■/n-B.cosfty) ?4(t) + j A,sm(kt)+Bicos(Aa*) j n (■&■

(*) Cette relation (49) pourrait être démontrée, mais péniblement, en mettant pour les deux j>4 leurs valeurs eu série, (45) pour h = 4, et en effectuant les multiplications et intégrations. Mais on en trouvera, à la lin du § 20, une démonstration simple, s'étendant aux vibrations de corps d'autres formes.

§ 19. — VIBRATIONS D'USE SPHÈRE. lw25

Les diverses constantes A et B que contient encore cette expression se déterminent d'après l'état initial du corps élastique mis en vibration.

Pour que le mouvement soit complètement défini, il faut évidemment connaître les positions initiales de tous les points du corps, ainsi que leurs vitesses initiales. Supposons donc qu'à l'origine du mouvement, ou pour £ = 0, le déplacement rp des divers points, dans la direction du

rayon, soit représenté par une fonction donnée f (r), et la vitesse r~-

dans cette même direction, par une autre fonction donnée 1 (r). Si

nous égalons ces valeurs données de p et de -~ à celles qui résultent

de l'équation précédente dans laquelle nous aurons fait / — 0, nous aurons les équations :

|^(t)+V.(^+Mt)+'

De ces équations, on peut tirer les valeurs de A et de ß, exprimées par des intégrales définies, à l'aide de l'équation (49). Si, en effet, on

multiplie chacune des équations (oO) par iAox I — ), et si l'on intègre

ensuite les deux membres entre 0 et a, tous les termes, à l'exception de ceux de l'indice n, s'annulent en vertu de l'équation (49), et l'on obtient

ffl^(¥)'*=\n*CÖ]V*

d'où Ton déduit les valeurs suivantes des constantes A , ß :

Ces formules donnent la solution complète du problème. On remarque que les dernières quantités déterminées au moyen de l'état initial du mouvement n'intluent que sur les amplitudes des oscillations, et nulle-

ment sur leur durée. La durée des oscillations est au contraire entièrement déterminée par la forme géométrique et les dimensions du corps vibrant.

; 20. — Sur les racines des équations transcendantes qui donnent la solution du problème des vibrations des corps élastiques.

Les vibrations d'un corps élastique quelconque, de quelque manière qu'elles se produisent, peuvent toujours être représentées sous la même forme qui a servi à représenter ci-dessus la quantité p, en tant qu'on les considère comme des sommes de vibrations partielles périodiques simples; c'est-à-dire qu'on peut toujours poser, pour les valeurs des déplacements u, v, w des points :

?/ = ?/j sin (k\t) -4- u.2 sin (k2t) -+- .

+ 11 cos (h\t) -+- u'2 cos (k/) -h .

v = i\ sin (k^) -f- ya sin (k±t) -h .

H- v\ cos (kit) -t- i'[, cos (kst) -+- . iu = «>x sin (kj) -+- »'2sin (k.2t) -+- .

-h w\ cos (kj) -\- u>',cos (kj.) -+- .

Dans ces expressions, les termes contenant les sinus et les cosinus du même argument représentent ensemble une vibration partielle. Comme on le reconnaît facilement, chaque système de ces termes, considéré isolément, doit satisfaire aux équations différentielles du

mouvement (50) m -7—, = du g 14. Si donc après avoir, dans ces

équations, annulé X, Y, /, on y remplace u, v, iv par les composantes

uns\n(knt), vnsin(knt), wn siu (/.,/) d'une oscillation partielle, on obtient aussi

tM=t>n (*„*), tff, = t™ sin (*„*),

les t n) étant les valeurs des t dans lesquelles on a introduit les u , v , w , au lieu des «, v, w.

Alors, tous les termes des équations différentielles (30) contiennent

§ 20. — VIBRATIONS. KACINES Di;S ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 127

Je l'acteur sin (k t); et en le faisant disparaître, on arrive à

I 2 C lXX , l V.v\ , l l.r:

" " ex ( y c :•

(al) -mfyn

r (n) r Kn) r (n)

C Kl S/y l l-7

c\(i'] a.în) i\[n)

\ — mk~ w ,= -—-

" " iX (IJ (i

Dans ces équations, le temps t ne ligure plus; les un, vn, w et les t("'

ne sont fonctions que des coordonnées. Outre ces trois équations générales, on en obtient encore trois autres exprimant les conditions limites à la surface du corps, et qui se déduisent des équations (25),

t cosy> + = Tcos <•> du § 15, en y égalant à zéro les pressions

extérieures T, el en supposant que p, q, r représentent les angles formés avec les axes par la normale à la surface, dirigée vers l'extérieur. Si dans ces équations on remplace également u, v, w par les quantités désignant une vibration partielle, le facteur commun sin (IcJ) se trouve encore dans tous les termes; et en le supprimant, il reste

l tg cos p -h iJJ cos q -h t(;:> cos r = 0 ,

( o 1 ) tjj cos p H- tjj cos q H- tjjj cos r = 0 ,

( t'"' cos p H- tg cos q -+- tJJ cos r = 0 .

Ces équations ne contiennent pas non plus le temps t.

Les équations (51) et (52) déterminent donc u , v , w en fonction des coordonnées, mais de telle sorte, cependant, que ces trois quantités peuvent être multipliées à la fois par une même constante arbitraire. En effet, ces équations ne changent pas si, au lieu de u , v , w , on y met kun, kvn, ktoB, k désignant un facteur constant quelconque : car ce facteur disparait immédiatement comme commun à tous les termes.

Mais, pour la détermination des k* qui figurent dans les premiers membres des équations (51), les équations (51) et (52) conduisent, comme dans le § précédent, à une équation transcendante. Cette équation transcendante a toujours ses racines réelles et positives, comme on va le voir immédiatement.

Auparavant, il importe de remarquer que les quantités?/ ,vf , w' conduisent aux mêmes équalions que un, vn, wa,et ne peuvent, par

conséquent, se distinguer de ces dernières quantités que par des facteurs constants arbitraires.

Considérons l'intégrale triple

"V'O dxdydz ,

dans laquelle k et n représentent deux nombres différents, et qui doit être étendue au volume entier du corps vibrant. On va montrer que celte intégrale est nulle, quelles que soient les valeurs de k et de n, pourvu qu'elles soient différentes.

Si dans l'intégrale J on introduit, à la place de u , v , w , leurs valeurs tirées des équations (51), on a

— mk J =

.ri/

aff

lui ,/.,ï/>/c.

Tt(«)

Si maintenant l'on traite cette intégrale identiquement de la même manière que l'intégrale semblable du § 16, p. 58 (qui représente le travail cV des forces intérieures), on obtiendra, comme à ce g, une intégrale double devant être étendue à toute la surface du corps, et une intégrale triple. Ces deux intégrales se déduisent des valeurs de ol; et de — cil, de ce § 16, pp. 60, 61, en remplaçant, dans leurs expressions, les t par les t(" et ou, àv, o*/>, par Mft, yft, w'k. Alors, sans aller plus loin, ou reconnaît qu'à cause des équations (52), la première de ces intégrales s'évanouit, et il reste seulement

mk . J

( irf. < u,

+ Cri + C(T7

dxdydz.

Si maintenant l'on considère que les t"1 sont des fonctions linéaires