RÉALITÉ DES RACINES DES ÉQUATIO.NS TRANSCENDANTES

cU i V CW . .

des six quantités-^-', Jr-4-J: , et sont ainsi (même 3 16)

cX l Z c\J

les quotients différentiels partiels, par rapport à ces quantités, d'une même fonction du second degré, l'on reconnaîtra que la fonction placée sous le signe d'intégration ne change pas quand on y remplace les uk, »., wk par les un, vn,ivn. La môme chose doit donc avoir lieu pour

le premier membre de l'équation. Or, J ne change pas quand on y remplace n par k, tandis que k1 se change en k^. Si donc k et n sont différents, le premier membre ne peut conserver la môme valeur qu'autant qu'il est toujours égal à zéro. On a donc nécessairement, lorsque k et n sont différents :

(53) JJJ < "«"* + ''»''* + w^ 'lcdydz = (' '

comme nous l'avons avancé.

Maintenant, si l'équation transcendante qui a pour racines les k* avait des racines imaginaires, à chacune d'elles répondrait sa conjuguée, et l'on peut prendre ksn et k\ pour deux de ces racines conjuguées. Par suite, un et uk seront aussi des grandeurs imaginaires conjuguées, et il en sera de même de v et v, , de w et iv. . Or le produit de deux

H fi II n A

imaginaires conjuguées de la forme a -h ßi, a — r(À (i étant V7 — l), est égal à <x2-t-ß*, et est par conséquent positif; l'intégrale (53) représenterait donc une somme de nombres positifs qui ne peut être égale à zéro. Donc k? ne peut jamais être un nombre imaginaire binôme.

Mais, de plus, tous les k* doivent aussi être positifs, et par conséquent, les k eux-mêmes doivent être réels. En effet, si l'on opère, comme on vient de le faire sur l'intégrale J, sur une autre intégrale

i'=fjJ {< + <■+- «tytedydz,

dans laquelle les u , v , wnsont nécessairement réels à cause de la réalité démontrée des k'n, on obtient de la même manière que tout à l'heure la valeur de rïik* J', exprimée par l'intégrale triple ci-dessus, dans laquelle les m., vk, wk sont remplacés par les un, vn, wn. On reconnaît ensuite facilement que l'expression sous le signe d'intégration n'est autre chose que le double de la fonction F de l'expression (34 a) du § 16, page 62, dans laquelle on aurait remplacé u, v. w, par un, v ,

w , fonction homogène du second degré des six déformations élémentaires ?, g, ou bien des six composantes de tensions t,... t ^, donnant la valeur du travail des tensions qui ont produit ces déformations pour l'unité de volume de l'élément dxdydz du corps. On a donc

(54) mkly = <2jjj¥ dxdydz.

Or, la différentielle, prise en signe contraire, de l'intégrale triple du second membre, exprime le travail des forces intérieures pour une déformation. L'intégrale elle-même représente donc, pris en signe contraire, le travail des forces intérieures, lorsque les points de ce corps sont déplacés de leurs positions d'équilibre, et que ces déplacements sont exprimés par un, vn, wn. Ce travail est; de sa nature, négatif, et exactement opposé au travail positif des forces extérieures, qui lui est égal, et qui est nécessaire pour produire les déplacemements. La triple intégrale est donc nécessairement positive. Or J', qui est une somme de termes positifs, est aussi positif; donc k%n doit nécessairement être positif, ce qu'il fallait démontrer.

Si k pouvait devenir imaginaire, sin (kj) et cos (kj) deviendraient aussi imaginaires, et ces fonctions trigonométriques se développeraient en des termes qui contiendraient le temps en exponentielle à exposant réel, c'est-à-dire en des termes qui, lorsque le temps augmenterait, devraient tendre vers zéro ou s'accroître indéfiniment. La véritable signification de ce qui vient d'être démontré est donc ceci : Les mouvements intérieurs d'un corps élastique, si ce corps est entièrement abandonné à lui-même, nepeuvent, avecle temps, ni augmenter ni diminuer; mais, au contraire, tous les mouvements partiels s exécutent en périodes d'égale durée entre des limites invariables qu'ils ne peuvent dépasser, mais qu'ils atteignent toujours de nouveau périodiquement.

L'application de l'équation (53), fff = 0, au problème posé au § 19 qui précède, se fait très simplement. Dans ce problème les déplacements sont :

u=px , v = py , w = pz ,

et peuvent être exprimés, d'après les notations de l'équation (39) p = R sin (fc,*) -h R, sin (k/) -h...., comme il suit :

u — R x , v = Pi ii . w =R z ,